19.55 • Use as condições e os processos mencionados no Problema 19.54 para calcular (a) o trabalho realizado pelo gás, o calor fornecido ao gás e a variação da energia interna durante a expansão inicial; (b) o trabalho realizado pelo gás, o calor fornecido ao gás e a variação da energia interna durante o resfriamento

Passo 1

Preciso deixar claro o seguinte: o enunciado que você me enviou refere-se ao “Problema 19.54” e pede que eu use as condições e processos daquele problema para calcular trabalho, calor e variação da energia interna em duas etapas. O Problema 19.54 não foi enviado aqui, portanto não tenho os dados nem a descrição dos processos. Sem esses dados específicos não há como calcular valores numéricos corretos porque faltam informações essenciais.
Vou listar, de forma bem explícita, todas as informações que estariam faltando e que eu precisaria do Problema 19.54 para resolver numericamente:
  • Tipo(s) de processo envolvidos em cada etapa (por exemplo: isotérmico, isobárico, isocórico, adiabático reversível, politrópico etc.).
  • Se o processo é quasi-estático reversível (para usar fórmulas usuais de W=\int P\,dV).
  • Valores iniciais e finais: P_1, V_1, T_1 e P_2, V_2, T_2 para cada etapa (ou relações entre eles como V_2/V_1, P_2/P_1, etc.).
  • Número de mols n do gás, ou massa e massa molar; ou se devemos assumir um mol (às vezes o livro assume n=1).
  • Tipo de gás (por exemplo gás ideal monoatômico, diatômico) para saber C_V, C_P e \gamma=C_P/C_V — ou então os valores de C_V e C_P.
  • Se houver uma figura: curvas no diagrama P vs V ou pontos marcados — sem ela não dá para extrair P e V.
Como não posso pedir esses dados (regras do enunciado), não vou inventar números. Em vez disso, vou explicar passo a passo, didaticamente, exatamente como você deve proceder na prova assim que tiver os dados do Problema 19.54 — incluindo as fórmulas, o raciocínio e exemplos simbólicos que você consegue aplicar sem calculadora.

Passo 2

Princípios e fórmulas fundamentais (a “caixa de ferramentas” que sempre se usa). Vou explicar devagar e com exemplos simbólicos.
  1. Primeira Lei da Termodinâmica (conservação de energia para um sistema fechado):
Q = \Delta U + W.
Aqui:
  • Q é o calor fornecido ao sistema (positivo quando entra no gás).
  • \Delta U é a variação da energia interna do gás (positivo quando a energia interna aumenta).
  • W é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo se o gás realiza trabalho ao expandir).
  1. Energia interna de um gás ideal:
U = n C_V T,
portanto
\Delta U = n C_V \Delta T = n C_V (T_2-T_1).
  • n é o número de mols.
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante.
  1. Equação de estado do gás ideal:
P V = n R T,
onde R é a constante dos gases ideais. Essa relação permite, por exemplo, obter \Delta T se você conhece P e V nos estados inicial e final.
  1. Trabalho em processos quasi-estáticos:
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Dependendo do processo, essa integral simplifica para fórmulas fechadas (veja passo 3).
Observação sobre sinais: seguir a convenção W>0 quando o gás realiza trabalho (expansão). Se o processo for compressão, W<0.

Passo 3

Fórmulas padrão para processos comuns — memorize essas e saiba quando aplicar cada uma. Em cada item explico o porquê e o que cada símbolo significa.
A) Isotérmico ( T constante)
  • Condição: T_1=T_2. Para gás ideal, \Delta U=0.
  • Trabalho:
W = n R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = P_1 V_1 \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Calor:
Q = W \quad\text{(porque \(\Delta U=0\))}.
Use quando o enunciado diz explicitamente que a temperatura é constante ou quando P V é constante.
B) Isobárico ( P constante)
  • Condição: P_1=P_2=P.
  • Trabalho:
W = P (V_2 - V_1).
  • Variação de energia interna:
\Delta U = n C_V (T_2 - T_1).
  • Calor:
Q = n C_P (T_2 - T_1),
onde C_P = C_V + R. Use quando o enunciado diz pressão constante.
C) Isocórico ( V constante)
  • Condição: V_1=V_2.
  • Trabalho:
W = 0.
  • Variação de energia interna:
\Delta U = n C_V (T_2 - T_1).
  • Calor:
Q = \Delta U.
Use quando volume não varia.
D) Adiabático reversível ( Q=0)
  • Condição: Q=0. Para gás ideal reversível, P V^\gamma = \text{const}, com \gamma = C_P/C_V.
  • Relações úteis:
T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}, \qquad P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma.
  • Trabalho (uma forma prática):
W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{n R (T_1 - T_2)}{\gamma - 1}.
  • Visto que Q=0, da 1ª lei:
\Delta U = -W.
Use quando o enunciado especifica que não há troca de calor (adiabático) e processo reversível.
E) Processo politrópico genérico ( P V^{n}= const)
  • Para um expoente n conhecido, o trabalho:
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - n},
quando n\neq 1. (Note o sinal — tomar cuidado com a ordem.)
  • Se n=1 isto é o isotérmico, já tratado acima.

Passo 4

Como aplicar essas fórmulas passo a passo na prova (fluxo de resolução que funciona sempre). Vou descrever o roteiro que você deve seguir e mostrar simbólico para que seja direto aplicar ao Problema 19.54 quando tiver os números.
Roteiro:
  1. Identificar o processo (isotérmico/isobárico/isocórico/adiabático/politrópico). Isso determina qual fórmula de W usar e se Q é zero ou não.
  2. Recolher os dados fornecidos: P_1,V_1,T_1 e P_2,V_2,T_2 ou relações entre eles, e n (número de mols) e tipo de gás (para C_V, C_P, \gamma).
  3. Calcular \Delta T usando a equação de estado, se necessário:
T_1 = \frac{P_1 V_1}{n R},\qquad T_2 = \frac{P_2 V_2}{n R}.
  1. Calcular \Delta U = n C_V (T_2 - T_1).
  2. Calcular W usando a fórmula correta do processo (ver passo 3).
  3. Usar a primeira lei Q = \Delta U + W para obter Q.
  4. Verificar os sinais: se W>0 o gás realizou trabalho; se Q>0 calor entrou no gás; se \Delta U>0 a energia interna aumentou.
Exemplo simbólico (adicional para fixar): suponha que a “expansão inicial” seja adiabática reversível do estado 1 ao 2. Então:
  • Q_{\text{exp}}=0 por definição.
  • W_{\text{exp}} = \dfrac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}.
  • \Delta U_{\text{exp}} = -W_{\text{exp}} = \dfrac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{\gamma - 1}.
Se em vez disso a “expansão inicial” for isotérmica a T constante:
  • \Delta U_{\text{exp}} = 0.
  • W_{\text{exp}} = P_1 V_1 \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right).
  • Q_{\text{exp}} = W_{\text{exp}}.
Veja como o raciocínio muda conforme o processo — por isso identificar o processo é o passo mais importante.

Passo 5

Dicas práticas para a prova — erro comuns e macetes para fazer sem calculadora:
  • Sempre explique e escreva qual convenção de sinal está usando (eu uso W>0 quando o gás realiza trabalho). Isso evita perder pontos.
  • Se só der P e V em unidades “relativas” (por exemplo na figura P em unidades de 10^5\\ \text{Pa} e V em 10^{-3}\\ \text{m}^3), converta todas para unidades consistentes antes de multiplicar; mas muitas vezes as constantes se cancelam ao formar razões \frac{V_2}{V_1}.
  • Para encontrar \gamma a partir do tipo de gás: monoatômico ideal \gamma=\tfrac{5}{3}, diatômico (a baixas temperaturas, sem modos vibracionais) \gamma=\tfrac{7}{5}. Se o texto não disser, verifique se o livro/exercício anterior fixou o tipo de gás.
  • Se aparecer um gráfico P vs V, o trabalho é a área sob a curva; identifique geometria (reta horizontal = isobárico, vertical = isocórico, hipérbole PV= const = isotérmico).
  • Para checar consistência: calcule Q via Q=\Delta U + W e confira sinais esperados (por exemplo, numa expansão adiabática o gás perde energia interna, logo \Delta U<0; se W>0 então \Delta U=-W).

Passo 6

Resumo didático do que você fará quando tiver o Problema 19.54 na sua mão:
  • Olhe no 19.54 qual processo é cada etapa (expansão inicial; resfriamento).
  • Pegue P_1,V_1,T_1 e P_2,V_2,T_2 (ou relações dadas).
  • Use a fórmula de W apropriada (veja passo 3).
  • Calcule \Delta U = n C_V (T_2-T_1) — obtenha T via P V = n R T se necessário.
  • Encontre Q por Q=\Delta U+W.
    Se desejar, copie este roteiro e aplique com os números do 19.54 que o seu professor forneceu.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o trabalho, o calor e a variação da energia interna porque o enunciado depende do Problema 19.54, cujas condições (tipo de processo, P_1,V_1,T_1,P_2,V_2,T_2, número de mols n, tipo de gás ou valores de C_V, C_P, ou figura) não foram fornecidas aqui. Para resolver o problema numérico, são necessárias as informações listadas no Passo 1; com esses dados use o roteiro e fórmulas apresentados acima para obter W, Q e \Delta U.

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