17 Um pêndulo simples tem massa
e comprimento
. Ele é liberado de uma posição inicial onde o fio faz um ângulo de
com a vertical.
(a) Determine a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo de sua trajetória.
(b) Qual é a tensão no fio neste ponto mais baixo? (Use
).
(a) Determine a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo de sua trajetória.
(b) Qual é a tensão no fio neste ponto mais baixo? (Use
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- massa:
. - comprimento do fio:
. - ângulo inicial com a vertical:
. - aceleração da gravidade:
.
- massa:
- Perguntas:
- (a) Determinar a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo da trajetória.
- (b) Determinar a tensão no fio nesse ponto mais baixo.
Passo 2
Determinar quanto o corpo desceu em altura vertical ao passar do ponto inicial até o ponto mais baixo (essa é a variação de energia potencial). Vou explicar a geometria e a fórmula:
- Quando o pêndulo está fazendo um ângulo
com a vertical, a posição vertical do corpo em relação ao ponto de suspensão é (tomando para referência o ponto de suspensão como zero vertical). - No ponto mais baixo (
) a posição vertical é . - A queda vertical (diferença de altura) entre a posição inicial e a posição mais baixa é, portanto,
- Agora substituo
e uso :
- Como
, obtemos
Passo 3
Calcular a velocidade no ponto mais baixo usando conservação da energia mecânica (assumindo ausência de atrito/arrasto):
- Conceito: energia mecânica total (energia potencial gravitacional + energia cinética) conserva-se. Ao descer
, a energia potencial perdida vira energia cinética . - Escrevendo a equação:
- Aqui
é a massa, a gravidade, a altura que desceu e a velocidade no ponto mais baixo. - Cancelo
dos dois lados e resolvo para :
- Substituindo
e :
- Valor numérico:
Passo 4
Calcular a tensão no fio no ponto mais baixo usando a segunda lei de Newton na direção radial.
- No ponto mais baixo as forças radiais (ao longo do fio) são: tensão
para cima (direção do centro) e peso para baixo (oposta ao centro). A resultante radial para cima fornece a aceleração centrípeta necessária . - Equação (soma das forças na direção radial, rumo ao centro positivo):
- Resolvo para
:
- Já temos
, , (pois dá ) e . Calculo os termos: -
. -
.
-
- Portanto
Passo 5
Pequeno comentário final e checagem rápida (pra te animar): a tensão é maior que o peso porque, além de sustentar o peso, o fio precisa fornecer força centrípeta para curvar o movimento. Os números aqui fecham de forma simples:
e
.