17 Um pêndulo simples tem massa m=0.5 \mathrm{~kg} e comprimento L=1 \mathrm{~m}. Ele é liberado de uma posição inicial onde o fio faz um ângulo de 60^{\circ} com a vertical.
(a) Determine a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo de sua trajetória.
(b) Qual é a tensão no fio neste ponto mais baixo? (Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=0{,}5\\ \mathrm{kg}.
    • comprimento do fio: L=1\\ \mathrm{m}.
    • ângulo inicial com a vertical: \theta_0=60^\circ.
    • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo da trajetória.
    • (b) Determinar a tensão no fio nesse ponto mais baixo.

Passo 2

Determinar quanto o corpo desceu em altura vertical ao passar do ponto inicial até o ponto mais baixo (essa é a variação de energia potencial). Vou explicar a geometria e a fórmula:
  • Quando o pêndulo está fazendo um ângulo \theta com a vertical, a posição vertical do corpo em relação ao ponto de suspensão é -L\cos\theta (tomando para referência o ponto de suspensão como zero vertical).
  • No ponto mais baixo ( \theta=0) a posição vertical é -L.
  • A queda vertical (diferença de altura) entre a posição inicial e a posição mais baixa é, portanto,
h = \bigl(-L\cos\theta_0\bigr) - \bigl(-L\bigr) = L\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
  • Agora substituo \theta_0=60^\circ e uso \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}:
h = L\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}L.
  • Como L=1\\ \mathrm{m}, obtemos
h = 0{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a velocidade no ponto mais baixo usando conservação da energia mecânica (assumindo ausência de atrito/arrasto):
  • Conceito: energia mecânica total (energia potencial gravitacional + energia cinética) conserva-se. Ao descer h, a energia potencial perdida mgh vira energia cinética \tfrac{1}{2}mv^2.
  • Escrevendo a equação:
mgh = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Aqui m é a massa, g a gravidade, h a altura que desceu e v a velocidade no ponto mais baixo.
  • Cancelo m dos dois lados e resolvo para v:
v = \sqrt{2 g h}.
  • Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^2} e h=0{,}5\\ \mathrm{m}:
v = \sqrt{2\cdot 10 \cdot 0{,}5} = \sqrt{10}.
  • Valor numérico:
v \approx 3{,}1623\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a tensão no fio no ponto mais baixo usando a segunda lei de Newton na direção radial.
  • No ponto mais baixo as forças radiais (ao longo do fio) são: tensão T para cima (direção do centro) e peso mg para baixo (oposta ao centro). A resultante radial para cima fornece a aceleração centrípeta necessária a_c=\dfrac{v^2}{L}.
  • Equação (soma das forças na direção radial, rumo ao centro positivo):
T - mg = m \frac{v^2}{L}.
  • Resolvo para T:
T = mg + m\frac{v^2}{L}.
  • Já temos m=0{,}5\\ \mathrm{kg}, g=10\\ \mathrm{m/s^2}, v^2=10 (pois v=\sqrt{10} v^2=10) e L=1\\ \mathrm{m}. Calculo os termos:
    • mg = 0{,}5\cdot 10 = 5\\ \mathrm{N}.
    • m\frac{v^2}{L} = 0{,}5\cdot\frac{10}{1}=5\\ \mathrm{N}.
  • Portanto
T = 5 + 5 = 10\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Pequeno comentário final e checagem rápida (pra te animar): a tensão é maior que o peso porque, além de sustentar o peso, o fio precisa fornecer força centrípeta para curvar o movimento. Os números aqui fecham de forma simples: v=\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s} e T=10\\ \mathrm{N}.

Resposta

v=\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}16\\ \mathrm{m/s}
T=10\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados