4.19 ป A superfície anelar 1 \mathrm{~cm}<\rho<3 \mathrm{~cm}, z=0, está carregada com a densidade superficial não uniforme de carga \rho_{s}=5 \rho \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Calcule V em P(0,0,2 \mathrm{~cm}) se V=0 no infinito.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície anelar no plano z=0 com raios interno e externo 1\\ \text{cm} e 3\\ \text{cm} (portanto a região é 1\\ \text{cm}<\rho<3\\ \text{cm} em coordenadas cilíndricas). A densidade superficial de carga é não uniforme e dada por \rho_{s}=5\,\rho\\ \text{nC}/\text{m}^{2}, onde \rho é a coordenada radial (distância ao eixo z). Pede-se o potencial elétrico V no ponto P(0,0,2\\ \text{cm}) sabendo que V(\infty)=0. \n\nInformações importantes (converti para o SI):\n\n- raio interno: \rho_{1}=1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}.\n- raio externo: \rho_{2}=3\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}.\n- coordenada do ponto: z=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}.\n- densidade superficial em unidades SI: \rho_{s}(\rho)=5\,\rho\\ \text{nC}/\text{m}^{2}=5\cdot10^{-9}\rho\\ \text{C}/\text{m}^{2}.\n- constante elétrica do vácuo: \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F}/\text{m}.\n\nO que se pede: calcular V no ponto P (um número em volts), com V(\infty)=0.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar):\n\nO potencial elétrico total devido a uma distribuição de carga superficial é obtido somando (integrando) as contribuições elementares de cada pedaço de carga. A contribuição de um elemento de carga dQ situado a uma distância R do ponto P é\ndV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dQ}{R}.\n\nAqui:\n\n- dQ é a carga do elemento da superfície.\n- R é a distância do elemento até P.\n\nNo caso de uma placa anelar no plano z=0 em coordenadas cilíndricas, um elemento de área é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi. Assim\ndQ=\rho_{s}(\rho)\,dA=\rho_{s}(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\varphi.\n\nA distância entre um ponto da anel (coordenada radial \rho, ângulo \varphi, z=0) e P (no eixo, altura z) é\nR=\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}.\n\nPortanto o potencial em P é a integral sobre o anel:\nV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\iint\frac{\rho_{s}(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\varphi}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}
com \rho variando de \rho_{1} até \rho_{2} e \varphi de 0 a 2\pi.
Passo 3
Substituindo a dependência angular (a densidade depende só de \rho, não de \varphi) a integral em \varphi dá um fator 2\pi. Substituindo \rho_{s}(\rho)=5\cdot10^{-9}\rho e fazendo a integração em \varphi obtemos:\nV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi \int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}}\frac{5\cdot10^{-9}\,\rho\cdot\rho\,d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}.\n\nSimplificando o fator angular \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi=\frac{1}{2\varepsilon_{0}}, obtemos a expressão conveniente:\nV=\frac{5\cdot10^{-9}}{2\varepsilon_{0}}\int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}}\frac{\rho^{2}\,d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}.\n\nOnde usaremos \rho_{1}=0{,}01\\ \text{m}, \rho_{2}=0{,}03\\ \text{m} e z=0{,}02\\ \text{m}.
Passo 4
Agora vamos calcular a integral\nI=\int\frac{\rho^{2}\,d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}},\nonde para simplificar escrevemos a=z. Uma boa técnica é decompor o integrando:\n\frac{\rho^{2}}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}} =\frac{\rho^{2}+a^{2}-a^{2}}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}} =\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}-\frac{a^{2}}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}.\n\nAssim\nI=\int\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}\,d\rho - a^{2}\int\frac{d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}.\n\nUsamos as integrais elementares (vou dar as fórmulas e explicar o que cada termo significa):\n\int\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}\,d\rho=\frac{1}{2}\Big(\rho\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln\big(\rho+\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}\big)\Big)+C,\n\int\frac{d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}=\ln\big(\rho+\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}\big)+C.\n\nSubstituindo na expressão de I obtemos, após simplificar os termos com logaritmo,\nI=\frac{1}{2}\Big(\rho\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}-a^{2}\ln\big(\rho+\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}\big)\Big)+C.\n\nPortanto a integral definida que precisamos é\nI_{\text{def}}=\left.\frac{1}{2}\Big(\rho\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}-a^{2}\ln\big(\rho+\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}\big)\Big)\right|_{\rho_{1}}^{\rho_{2}}.
Passo 5
Agora avaliamos numericamente com a=z=0{,}02\\ \text{m}, \rho_{1}=0{,}01\\ \text{m}, \rho_{2}=0{,}03\\ \text{m}.\n\nCalculemos os termos em \rho_{2}=0{,}03\\ \text{m}:\n\sqrt{\rho_{2}^{2}+a^{2}}=\sqrt{(0{,}03)^{2}+(0{,}02)^{2}}=\sqrt{0{,}0013}=0{,}0360555127546\\ \text{m},\n\rho_{2}\sqrt{\rho_{2}^{2}+a^{2}}=0{,}03\times0{,}0360555127546=0{,}00108166538264,\n\ln\big(\rho_{2}+\sqrt{\rho_{2}^{2}+a^{2}}\big)=\ln(0{,}03+0{,}0360555127546)=\ln(0{,}0660555127546)=-2{,}717811\\ (\text{aprox.}).\n\nPortanto o termo para \rho_{2} é\nI(\rho_{2})=\tfrac{1}{2}\Big(0{,}00108166538264 - 0{,}0004\times(-2{,}717811)\Big) =0{,}00108439489132\\ \text{(m}^{2}\text{), aprox.}\n\nAgora os termos em \rho_{1}=0{,}01\\ \text{m}:\n\sqrt{\rho_{1}^{2}+a^{2}}=\sqrt{(0{,}01)^{2}+(0{,}02)^{2}}=\sqrt{0{,}0005}=0{,}0223606797750\\ \text{m},\n\rho_{1}\sqrt{\rho_{1}^{2}+a^{2}}=0{,}01\times0{,}0223606797750=0{,}00022360679775,\n\ln\big(\rho_{1}+\sqrt{\rho_{1}^{2}+a^{2}}\big)=\ln(0{,}01+0{,}0223606797750)=\ln(0{,}0323606797750)=-3{,}431364\\ (\text{aprox.}).\n\nEntão\nI(\rho_{1})=\tfrac{1}{2}\Big(0{,}00022360679775 - 0{,}0004\times(-3{,}431364)\Big) =0{,}00079807624887\\ \text{(m}^{2}\text{), aprox.}\n\nA integral definida é\nI_{\text{def}}=I(\rho_{2})-I(\rho_{1}) =0{,}00108439489132-0{,}00079807624887 =0{,}00028631864245\\ \text{m}^{2}\\ (\text{aprox.}).
Passo 6
Agora voltamos à fórmula do potencial:\nV=\frac{5\cdot10^{-9}}{2\varepsilon_{0}}\,I_{\text{def}}.\n\nSubstituindo \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F}/\text{m} e I_{\text{def}}=0{,}00028631864245\\ \text{m}^{2} obtemos\n\frac{5\cdot10^{-9}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{5\cdot10^{-9}}{2\times 8{,}854187817\times10^{-12}}\approx 282{,}31,\nV\approx 282{,}31\times 0{,}00028631864245\approx 0{,}0808\\ \text{V}.\n\nPortanto o potencial no ponto P(0,0,2\\ \text{cm}) é aproximadamente 0{,}0808\\ \text{volt}.