Um circuito em série apresenta R=3 ohms, X_{L}=5 ohms, X_{C}=9 ohms. A tensão alternada aplicada é de 220 V (valor eficaz) e tem frequência de 60 Hz . Pede-se:
a) A impedância do circuito
b) O fator de potência do circuito
c) A corrente instantânea
d) A corrente eficaz
e) As potências \mathrm{P}, \mathrm{Q} e S

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com as seguintes informações e pede várias quantidades. Vou listar direitinho o que foi dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados:
R=3\\ \Omega, X_{L}=5\\ \Omega, X_{C}=9\\ \Omega, tensão eficaz V_{\text{rms}}=220\\ \text{V}, frequência f=60\\ \text{Hz}.
Perguntas (o que o enunciado pede):
a) A impedância do circuito.
b) O fator de potência do circuito.
c) A corrente instantânea i(t).
d) A corrente eficaz I_{\text{rms}}.
e) As potências ativa \mathrm{P}, reativa \mathrm{Q} e aparente \mathrm{S}.

Passo 2

Entendendo o que usar — conceito e fórmula básica para circuito série R, L e C:
Quando temos um resistor R, uma reatância indutiva X_{L} e uma reatância capacitiva X_{C} em série, a impedância complexa total é a soma:
Z = R + j\bigl(X_{L}-X_{C}\bigr),
onde j é a unidade imaginária ( j^{2}=-1). Aqui X_{L}-X_{C} é a reatância resultante: se positiva o circuito é indutivo (corrente atrasa), se negativa é capacitivo (corrente adianta).
Primeiro calculemos a reatância resultante:
X = X_{L}-X_{C}.
Agora substituímos os valores dados.

Passo 3

Cálculo da reatância resultante e da impedância complexa:
Calculemos
X = 5 - 9 = -4\\ \Omega.
(Saiu negativo, ou seja, o circuito é dominado pela capacitância — corrente tende a adiantar.)
A impedância complexa é
Z = 3 + j(-4) = 3 - j4\\ \Omega.
Agora a magnitude e o ângulo de fase de Z. Magnitude:
|Z|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \Omega.
Ângulo de fase (usamos a definição \varphi=\arctan\!\bigl(\dfrac{X}{R}\bigr)):
\varphi=\arctan\!\biggl(\frac{-4}{3}\biggr)\approx -53{,}13^\circ,
ou em radianos
\varphi\approx -0{,}9273\\ \text{rad}.
Interpretação rápida: \varphi<0 indica fator de potência adiantado (capacitivo).

Passo 4

Fator de potência — definição e cálculo didático:
O fator de potência (pf) é o cosseno do ângulo entre a tensão e a corrente:
\text{pf}=\cos\varphi.
Como temos \varphi\approx -53{,}13^\circ,
\text{pf}=\cos(-53{,}13^\circ)=\cos(53{,}13^\circ)=0{,}6.
Observação prática (dica de prova): com o triângulo R=3, X=4 e |Z|=5 vemos que \cos\varphi=3/5=0{,}6 e \sin\varphi=-4/5=-0{,}8. O sinal negativo em \sin\varphi confirma que a potência reativa será negativa (capacitiva).

Passo 5

Corrente eficaz I_{\text{rms}} e máxima I_{\text{max}} — passando de fasores para o domínio do tempo:
A intensidade eficaz é dada por
I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|}.
Substituindo:
I_{\text{rms}}=\frac{220}{5}=44\\ \text{A}.
A amplitude máxima (valor de pico) é
I_{\text{max}}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}=44\sqrt{2}\\ \text{A}\approx 62{,}23\\ \text{A}.
A frequência angular é
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \text{rad/s}.
Agora a corrente instantânea. Se escolhemos a tensão como referência v(t)=V_{\text{max}}\sin(\omega t) com V_{\text{max}}=\sqrt{2}V_{\text{rms}}, o fasor da corrente tem ângulo -\varphi em relação à tensão (mais precisamente I tem ângulo -\varphi se V é referência zero). A forma temporal da corrente é
i(t)=I_{\text{max}}\sin\bigl(\omega t - \varphi\bigr).
Como aqui \varphi\approx -0{,}9273\\ \text{rad}, podemos escrever explicitamente (repare no sinal duplo: -\varphi com \varphi negativo vira -(-0{,}9273)=+0{,}9273):
i(t)=44\sqrt{2}\,\sin\bigl(120\pi\,t +0{,}9273\bigr)\\ \text{A}.
Interpretação: o termo +0{,}9273 rad mostra que a corrente adianta a tensão (componente capacitiva).

Passo 6

Cálculo das potências \mathrm{S}, \mathrm{P} e \mathrm{Q} — fórmulas e substituições:
A potência aparente \mathrm{S} (em VA) é
\mathrm{S}=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}.
Assim
\mathrm{S}=220\cdot 44=9680\\ \text{VA}.
A potência ativa (real) \mathrm{P} é
\mathrm{P}= \mathrm{S}\cos\varphi = V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi.
Substituindo
\mathrm{P}=9680\cdot 0{,}6=5808\\ \text{W}.
A potência reativa \mathrm{Q} é
\mathrm{Q}= \mathrm{S}\sin\varphi = V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\sin\varphi.
Como \sin\varphi\approx -0{,}8,
\mathrm{Q}=9680\cdot(-0{,}8)=-7744\\ \text{var}.
Checagem rápida (consistência): \mathrm{P}^{2}+\mathrm{Q}^{2}=(9680)^{2}=\mathrm{S}^{2}, pois 0{,}6^{2}+(-0{,}8)^{2}=1.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica de prova rápida:
  • Impedância em forma retangular Z=3-j4\\ \Omega; magnitude 5\\ \Omega e ângulo -53{,}13^\circ.
  • Fator de potência 0{,}6 (adiantado, porque circuito é capacitivo).
  • Corrente eficaz 44\\ \text{A}. Dica rápida: em prova memorize que triângulo 3-4-5 \cos\varphi=3/5=0{,}6 e \sin\varphi=4/5=0{,}8, assim você faz as contas de cabeça.
  • Potências: \mathrm{S}=9680\\ \text{VA}, \mathrm{P}=5808\\ \text{W}, \mathrm{Q}=-7744\\ \text{var}. Sinal negativo em \mathrm{Q} = reativa capacitiva.

Resposta

a) Z=3-j4\\ \Omega,\quad |Z|=5\\ \Omega,\quad \angle Z=-53{,}13^\circ
b) \text{pf}=\cos\varphi=0{,}6 (adiantado)
c) i(t)=44\sqrt{2}\,\sin\bigl(120\pi\,t+0{,}9273\bigr)\\ \text{A}
d) I_{\text{rms}}=44\\ \text{A}
e) \mathrm{P}=5808\\ \text{W}
\mathrm{Q}=-7744\\ \text{var}
\mathrm{S}=9680\\ \text{VA}

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