Em 1921, Ramsauer observou que para alguns valores particulares da energia incidente, gases raros tais como hélio, argônio e neônio se tornavam transparentes a feixes de elétrons de baixa energia. Isto pode ser explicado pelo seguinte modelo de poço de potencial 1-D. Considere a solução estacionária da equação de Schrödinger com energia positiva E, para uma partícula de massa m no poço de potencial ( V_{0}>0 ):
\begin{array}{ll} V(x)=0, & \text { para }|x|>a \\\ V(x)=-V_{0}, & \text { para }|x| \leq a \end{array}
Definindo q^{2}=2 m\left(V_{0}+E\right) / \hbar^{2} e k^{2}=2 m E / \hbar^{2}, estamos interessados em uma solução da forma
\begin{array}{lr} \psi(x)=e^{i k x}+A e^{-i k x}, & x \leq-a, \\\ \psi(x)=B e^{i q x}+C e^{-i q x}, & -a<x<a, \\\ \psi(x)=D e^{i k x}, & x>a \end{array}
a) Escreva as relações de continuidade em x=a e x=-a.
b) Fazendo \Delta=(q+k)^{2}-e^{4 i q a}(q-k)^{2}, calcule as probabilidades de transmissão T=|D|^{2} e reflexão R=|A|^{2}. Verifique que R+T=1.
c) Mostre que T=1 para alguns valores de energia. Interprete este resultado à luz do efeito Ramsauer.
d) Em hélio, o primeiro nível de energia onde ocorre este fenômeno é 0,7 \mathrm{eV}. Assumindo que o raio do átomo seja de 1 \AA Å, calcule a profundidade V_{0} do poço de potencial dentro do átomo.
e) Como o coeficiente de reflexão se comporta à medida que a taxa E / V_{0} tende a zero? Quando se incide átomos de hidrogênio com baixa velocidade sobre a superfície do hélio líquido, estes átomos são espalhados de volta elasticamente, em vez de serem absorvidos. Explique este fenômeno qualitativamente.

Passo 1

O enunciado trata do espalhamento de uma partícula (elétron) de massa m\) e energia positiva \(E\) por um poço de potencial unidimensional definido por \[V(x)= \begin{cases} 0, & |x|>a,\\\\ -\,V_{0}, & |x|\le a, \end{cases}
com V_{0}>0\]. Definimos ainda \[k^{2}=\frac{2mE}{\hbar^{2}},\qquad q^{2}=\frac{2m\,(E+V_{0})}{\hbar^{2}},\] e adotamos a forma da função de onda estacionária \[\psi(x)= \begin{cases} e^{ikx}+A\,e^{-ikx}, & x\le -a,\\\ B\,e^{iqx}+C\,e^{-iqx}, & -a<x<a,\\\ D\,e^{ikx}, & x\ge a. \end{cases}\] Precisamos: a) escrever as condições de continuidade em \(x=\pm a;
b) resolver para os coeficientes e obter T=|D|^{2} e R=|A|^{2}, verificando R+T=1;
c) mostrar que T=1 para certas energias e interpretar o efeito Ramsauer;
d) usar o primeiro máximo de transparência em hélio E=0,7\,\mathrm{eV} e a=1\,\text{\AA} para calcular V_{0};
e) analisar o limite E/V_{0}\to0 e interpretar o espalhamento elástico de átomos de hidrogênio na superfície de hélio.

Passo 2

Condições de continuidade exigem que \psi e \psi' sejam contínuas em x=-a e x=+a. Substituindo cada ramo:
Em x=-a:
\psi(-a^-)=\psi(-a^+) \quad\Rightarrow\quad e^{-ika}+A\,e^{ika} = B\,e^{-iqa}+C\,e^{iqa},
\psi'(-a^-)=\psi'(-a^+) \quad\Rightarrow\quad ik\bigl(e^{-ika}-A\,e^{ika}\bigr) = iq\bigl(B\,e^{-iqa}-C\,e^{iqa}\bigr).
Em x=+a:
\psi(a^-)=\psi(a^+) \quad\Rightarrow\quad B\,e^{iqa}+C\,e^{-iqa} = D\,e^{ika},
\psi'(a^-)=\psi'(a^+) \quad\Rightarrow\quad iq\bigl(B\,e^{iqa}-C\,e^{-iqa}\bigr) = ik\,D\,e^{ika}.

Passo 3

Definindo
\Delta=(q+k)^{2}-e^{4iqa}\,(q-k)^{2},
resolve-se o sistema para obter
D=\frac{4\,k\,q\,e^{-2ika}}{\Delta}, \qquad A=\frac{(q^{2}-k^{2})\bigl(e^{-2iqa}-e^{2iqa}\bigr)}{\Delta}.
Logo as probabilidades são
T=|D|^{2} =\frac{16\,k^{2}\,q^{2}}{|\Delta|^{2}}, \qquad R=|A|^{2} =\frac{\bigl|q^{2}-k^{2}\bigr|^{2}\,\bigl|1-e^{4iqa}\bigr|^{2}}{|\Delta|^{2}}.
Fazendo a álgebra (usando \bigl|1-e^{4iqa}\bigr|^{2}=4\sin^{2}(2qa) e expandindo |\Delta|^{2}), verifica-se diretamente que
R+T=1.

Passo 4

Para T=1 basta que |\Delta|^{2}=16\,k^{2}q^{2}. Observando
\Delta=(q+k)^{2}-(q-k)^{2}e^{4iqa},
vemos que se e^{4iqa}=1, ou seja
4qa=2\,\pi n \quad\Longrightarrow\quad qa=n\pi,
então \Delta=4kq (real e positivo) e
T=\frac{16k^{2}q^{2}}{(4kq)^{2}}=1.
Físicamente, trata-se de ressonâncias de transmissão (interferência construtiva dentro do poço), explicando a transparência observada no efeito Ramsauer.

Passo 5

No hélio, o primeiro pico de transparência ocorre em E=0,7\,\mathrm{eV} e a=1\,\text{\AA}, com n=1, portanto
qa=\pi \quad\Rightarrow\quad E+V_{0} =\frac{\hbar^{2}\,\pi^{2}}{2\,m\,a^{2}}.
Usando \hbar=1,055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, m=9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}, a=1\times10^{-10}\,\mathrm{m} e 1\,\mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\,\mathrm{J}, encontra-se
E+V_{0}\approx37,7\,\mathrm{eV} \quad\Longrightarrow\quad V_{0}\approx37,0\,\mathrm{eV}.

Passo 6

No limite E/V_{0}\to0 tem-se k\to0 enquanto q\approx\sqrt{2mV_{0}}/\hbar permanece finito. Da expressão de T\propto k^{2} segue T\to0 e, por consequência, R=1-T\to1. Assim, para energias muito baixas a partícula é quase totalmente refletida. No caso de átomos de hidrogênio incidindo sobre o hélio líquido, há uma barreira efetiva (repulsão quântica/Pauli) que impede a penetração, levando ao espalhamento elástico de volta.

Resposta

a) Em x=-a:
e^{-ika}+A\,e^{ika} = B\,e^{-iqa}+C\,e^{iqa},\quad ik(e^{-ika}-A\,e^{ika}) = iq(B\,e^{-iqa}-C\,e^{iqa}).
Em x=+a:
B\,e^{iqa}+C\,e^{-iqa} = D\,e^{ika},\quad iq(B\,e^{iqa}-C\,e^{-iqa}) = ik\,D\,e^{ika}.
b)
T=|D|^{2} =\frac{16k^{2}q^{2}}{\bigl|(q+k)^{2}-e^{4iqa}(q-k)^{2}\bigr|^{2}}, \quad R=|A|^{2} =\frac{\bigl|q^{2}-k^{2}\bigr|^{2}\,\bigl|1-e^{4iqa}\bigr|^{2}} {\bigl|(q+k)^{2}-e^{4iqa}(q-k)^{2}\bigr|^{2}},
e verifica-se R+T=1.
c) T=1 quando qa=n\pi, devido à interferência construtiva no interior do poço (efeito Ramsauer).
d) Para E=0,7\,\mathrm{eV} e a=1\,\text{\AA}, obtém-se
V_{0}\approx37,0\,\mathrm{eV}.
e) Quando E/V_{0}\to0, T\to0 e R\to1. Fisicamente, a onda incidente é quase totalmente refletida, explicando o espalhamento elástico de átomos de hidrogênio na superfície do hélio líquido.

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