Considere um poço de potencial infinito de largura desconhecida. Em transições entre estados vizinhos associados ao número quântico n, fótons de várias energias são emitidos. Usando-se fotoluminescência, observa-se no espectro que o pico associado com o fóton de maior comprimento de onda está em 450 nm (um fóton visível na faixa do violeta!). Use estas informações para determinar a largura a do poço de potencial infinito.

Passo 1

O enunciado envolve um poço de potencial infinito de largura desconhecida a. Observa-se que, em transições entre estados vizinhos n+1\to n, o pico de maior comprimento de onda é \lambda_{\max}=450;nm. Precisamos usar as energias dos níveis do poço e a relação de fóton E = h c/\lambda para encontrar a.

Passo 2

Usamos a fórmula dos níveis de energia de um elétron num poço infinito:
E_n = \frac{n^2\,h^2}{8\,m\,a^2}
onde m é a massa do elétron.

Passo 3

A energia do fóton emitido na transição de n+1 para n é
\Delta E = E_{n+1}-E_n = \frac{\bigl((n+1)^2 - n^2\bigr)\,h^2}{8\,m\,a^2} = \frac{(2n+1)\,h^2}{8\,m\,a^2}.
Para obter o maior comprimento de onda (menor energia) adotamos n=1, logo
\Delta E_{\min} = \frac{3\,h^2}{8\,m\,a^2}.

Passo 4

Igualamos essa energia à do fóton de comprimento de onda \lambda_{\max}:
\frac{3\,h^2}{8\,m\,a^2} \;=\; \frac{h\,c}{\lambda_{\max}}
e isolamos a:
a^2 = \frac{3\,h^2\,\lambda_{\max}}{8\,m\,h\,c} = \frac{3\,h\,\lambda_{\max}}{8\,m\,c}, \qquad a = \sqrt{\frac{3\,h\,\lambda_{\max}}{8\,m\,c}}.

Passo 5

Substituindo \displaystyle h=6,626\times10^{-34}; J\cdot s, \displaystyle c=3,00\times10^{8};m/s, \displaystyle m=9,11\times10^{-31};kg
e \displaystyle \lambda_{\max}=450\times10^{-9};m:
a = \sqrt{\frac{3\times6,626\times10^{-34}\times450\times10^{-9}} {8\times9,11\times10^{-31}\times3,00\times10^{8}}} \approx 6,4\times10^{-10}\text{ m}.

Resposta

\displaystyle a \approx 6,4\times10^{-10};m

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