193 Determinar o dígito das unidades de 3^{4000}.

Passo 1

O enunciado pede o dígito das unidades de 3^{4000}. Esse tipo de problema usa aritmética modular em módulo 10, pois o dígito das unidades de um número corresponde ao seu resto em uma divisão por 10. Vamos explorar o ciclo das potências de 3 módulo 10.

Passo 2

Calculemos as primeiras potências de 3 módulo 10 para ver o padrão: \;3^1 \equiv 3\pmod{10}, \;3^2 \equiv 9\pmod{10}, \;3^3 \equiv 27\equiv7\pmod{10}, \;3^4 \equiv 81\equiv1\pmod{10}. Repetindo mais uma vez, \;3^5\equiv3\pmod{10}. Logo, o ciclo de dígitos das unidades é de comprimento 4, sendo a sequência 3, 9, 7, 1.

Passo 3

Para saber em que posição do ciclo 4000 se encaixa, calculamos
4000 \bmod 4 = 0.
Quando o expoente é congruente a 0 módulo 4, a potência de 3 termina em 1.

Resposta

1

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