194 Determinar o dígito das unidades de 3^{2002}.

Passo 1

O enunciado pede o dígito das unidades de 3^{2002}. Para isso vamos usar aritmética modular em base 10 e explorar a periodicidade dos dígitos das potências de 3.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras potências de 3 e anotar o dígito das unidades:
3^1 = 3,\quad 3^2 = 9,\quad 3^3 = 27,\quad 3^4 = 81.
Logo, os dígitos das unidades formam a sequência periódica
3,\;9,\;7,\;1
que se repete a cada 4 potências.

Passo 3

Para saber em que posição do ciclo 3,9,7,1 cai 3^{2002}, basta calcular o resto da divisão de 2002 por 4:
2002 \equiv 2 \pmod{4}.

Passo 4

O resto 2 indica que 3^{2002} tem o mesmo dígito das unidades de 3^2, que é 9.

Resposta

9

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