195 Existe algum n \in \mathbb{N} tal que n^{2}+n+1 seja divisível por 1955 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe n\in\mathbb{N} tal que
n^{2}+n+1\equiv 0\pmod{1955}.
Vamos usar teoria de congruências e o Teorema Chinês do Resto, fatorando 1955 e estudando a congruência módulo cada primo.

Passo 2

Fatoramos
1955 = 5 \times 17 \times 23.
Para haver solução global, é preciso que
n^{2}+n+1\equiv 0
seja solucionável simultaneamente em \bmod5, \bmod17 e \bmod23.

Passo 3

Analisamos primeiro em \bmod5. A congruência
n^{2}+n+1\equiv0\pmod{5}
é uma equação quadrática cuja discriminante é
\Delta = 1 - 4\cdot1\cdot1 = -3 \equiv 2 \pmod{5}.
Em \mathbb{F}_{5}, os quadrados são apenas 0,1,4, e 2 não é resíduo quadrático. Logo não há solução para
n^{2}+n+1\equiv0\pmod{5}.

Passo 4

Como já não existe n satisfazendo a congruência em módulo 5, não há como satisfazer simultaneamente em todos os fatores de 1955. Pelo Teorema Chinês do Resto, concluímos que não existe n\in\mathbb{N} tal que n^{2}+n+1 seja divisível por 1955.

Resposta

Não existe nenhum n\in\mathbb{N} com n^{2}+n+1 divisível por 1955.

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