196 Se
é da forma
então não existem inteiros a,b tais que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é um inteiro positivo da forma
então não existem inteiros
tais que
O conteúdo envolvido é aritmética modular, em particular o estudo dos restos quadráticos módulo 4.
Passo 2
Observemos quais são os restos possíveis de um quadrado inteiro módulo 4. Seja
. Temos dois casos:
-
é par, ou seja . Então
-
é ímpar, ou seja . Então
Logo, todo quadrado inteiro só pode ser congruente a
ou a
módulo 4.
Passo 3
Agora vejamos as somas possíveis de dois quadrados módulo 4. Sejam
Em nenhum desses casos obtemos resto (3] módulo 4.
Passo 4
Como
implicaria
e vimos que
nunca é congruente a
em módulo 4, isso contradiz
. Portanto não é possível escrever
como soma de dois quadrados.
Resposta
Não existem inteiros
tais que
.