196 Se m \in \mathbb{Z}_{+}é da forma m=4 k+3 então não existem inteiros a,b tais que m=a^{2}+
b^{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se m é um inteiro positivo da forma
m = 4k + 3,
então não existem inteiros a,b tais que
m = a^{2} + b^{2}.
O conteúdo envolvido é aritmética modular, em particular o estudo dos restos quadráticos módulo 4.

Passo 2

Observemos quais são os restos possíveis de um quadrado inteiro módulo 4. Seja n\in\mathbb{Z}. Temos dois casos:
  1. n é par, ou seja n = 2r. Então
n^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}\equiv 0\pmod{4}.
  1. n é ímpar, ou seja n = 2r+1. Então
n^{2} = (2r+1)^{2} = 4r(r+1)+1\equiv 1\pmod{4}.
Logo, todo quadrado inteiro só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 4.

Passo 3

Agora vejamos as somas possíveis de dois quadrados módulo 4. Sejam a^{2}\) e \(b^{2}\) restos em \(\{0,1\}\). Então \[a^{2}+b^{2}\equiv \begin{cases} 0+0=0,\\\\ 0+1=1,\\\\ 1+0=1,\\\\ 1+1=2 \end{cases} \pmod{4}.
Em nenhum desses casos obtemos resto (3] módulo 4.

Passo 4

Como m=a^{2}+b^{2} implicaria m\equiv a^{2}+b^{2}\pmod{4} e vimos que a^{2}+b^{2} nunca é congruente a 3 em módulo 4, isso contradiz m\equiv 3\pmod{4}. Portanto não é possível escrever m=4k+3 como soma de dois quadrados.

Resposta

Não existem inteiros a,b tais que 4k+3 = a^{2} + b^{2}.

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