1a ^ a Questão: Estima-se que, daqui a t meses, a população de certa cidade estará aumentando à razão de 4 + 5 t^2 / 3 habitantes por mês. Se a população atual é de 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8 meses?
Solução:
Seja P a população. Assim, a expressão Logo, dP / dt=4 + 5 t^2 / 3.
Separando as variáveis, dP=(4 + 5 t^2 / 3) dt
Integrando ambos os membros da igualdade (e usando as respectivas regras de integração…)
& integral d P=integral(4+5 t^23) d t & P=4 t+5 t^23+123+1+C
Organizando, P=4 t+3 t^5 / 3+C
População atual… C=10.000
Daqui a 8 meses… P(8)=4(8)+3(8)^5 / 3+10.000
Lembrando que 8=2^3
Concluir!

Passo 1

O enunciado dá a taxa de crescimento da população em função do tempo: daqui a t meses, a razão de variação é dPdt=4+5t^2/3. A população atual P(0) é 10 000 hab. Para achar P(8), vamos integrar essa taxa e usar a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e separamos variáveis:
dPdt=4+5t^2/3
ou seja,
dP=(4+5t^2/3),dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, integral dP=P(t). No direito,
integral(4+5t^2/3),dt = integral4,dt + 5integral t^2/3,dt
Aplicando as regras de potência, temos:
P(t)=4t+5cdott^2/3+12/3+1+C =4t+3t^5/3+C

Passo 4

Usamos a condição inicial P(0)=10000: substituindo t=0 em P(t)=4t+3t^5/3+C 10000=C. Logo,
P(t)=4t+3t^5/3+10000

Passo 5

Para achar a população em 8 meses, calculamos:
P(8)=4cdot8+3cdot8^5/3+10000
Como 8=2^3,
8^5/3=(2^3)^5/3=2^5=32
Substituindo,
P(8)=32+3times32+10000=32+96+10000=10128

Resposta

A população da cidade daqui a 8 meses será de 10 128 habitantes.

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