[2.0 pt ] Calcule a integral de linha
\iint_{S} x d S
S é a região triangular com vértices (1,0,0),(0,-2,0) e (0,0,4).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,dS
onde S é o triângulo da superfície contendo os três vértices dados. Informações fornecidas:
(1,0,0),\quad (0,-2,0),\quad (0,0,4).
Ou seja, S é o triângulo planar cujo contorno passa por esses três pontos. A tarefa é integrar a função escalar x sobre essa superfície triangular.

Passo 2

Primeiro vamos achar a equação do plano que contém os três pontos. Para isso formamos dois vetores no plano saindo de (1,0,0):
\vec{AB} = (0,-2,0)-(1,0,0)=(-1,-2,0),
\vec{AC} = (0,0,4)-(1,0,0)=(-1,0,4).
O produto vetorial \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC} fornece um vetor normal ao plano. Calculo do produto vetorial:
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & -2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (-8,\,4,\,-2).

Passo 3

Usando \vec{n}=(-8,4,-2) e o ponto (1,0,0), a equação do plano é
-8(x-1)+4(y-0)-2(z-0)=0.
Expandindo e simplificando:
-8x+8+4y-2z=0\quad\Longrightarrow\quad 8x-4y+2z=8.
Dividindo por 2 para simplificar:
4x-2y+z=4.
Isolando z como função de x e y:
z=4-4x+2y.

Passo 4

Agora usamos a fórmula para integral de superfície de uma função escalar sobre o gráfico z=g(x,y):
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS=\iint_{D} f\big(x,y,g(x,y)\big)\,\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA,
onde D é a projeção de S sobre o plano xy, e g_x=\partial g/\partial x, g_y=\partial g/\partial y. Justificativa curta: se \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)) então |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}, que é exatamente o fator pela mudança de área de dA para dS.

Passo 5

Para g(x,y)=4-4x+2y temos as derivadas parciais
g_x=-4,\qquad g_y=2.
Então o fator de superfície é
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt{1+(-4)^2+2^2}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}.
Assim a integral fica
\iint_{S} x\,dS=\sqrt{21}\iint_{D} x\,dA,
ou seja, basta calcular a integral dupla de x sobre a região D (projeção no plano xy) e multiplicar por \sqrt{21}.

Passo 6

A projeção dos vértices no plano xy são:
(1,0,0)\mapsto(1,0),\quad (0,-2,0)\mapsto(0,-2),\quad (0,0,4)\mapsto(0,0).
Logo D é o triângulo do plano xy com vértices (1,0), (0,-2), (0,0).
Determino os limites: para x variando de 0 até 1. Para um dado x entre 0 e 1, y varia da reta que liga (1,0) a (0,-2) até a reta que liga (1,0) a (0,0). A reta entre (1,0) e (0,-2) tem equação
y=2x-2,
e a reta entre (1,0) e (0,0) é y=0. Portanto
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;2x-2\le y\le 0\}.

Passo 7

Calculo da integral dupla sobre D:
\iint_{D} x\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=2x-2}^{0} x\,dy\right)dx.
Como x é constante na integral interna,
\int_{y=2x-2}^{0} x\,dy = x\big(0-(2x-2)\big)=x(2-2x)=2x-2x^2.
Agora integramos em x:
\int_{0}^{1} (2x-2x^2)\,dx = \left[x^2-\tfrac{2}{3}x^3\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Voltando à integral sobre a superfície, multiplicamos pelo fator \sqrt{21}:
\iint_{S} x\,dS=\sqrt{21}\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{\sqrt{21}}{3}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{21}}{3}

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