A temperatura em um ponto de uma bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro no centro da bola.
Seja \mathbf{F} um campo inverso do quadrado, ou seja, \mathbf{F}(r)=c \mathbf{r} /|\mathbf{r}|^{3} para alguma constante c, onde \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}. Mostre que o fluxo de \mathbf{F} através de uma esfera S com o centro de origem é independente do raio de S.
Passo 1
Vou organizar claramente o que cada item pede e quais informações são dadas.
Para o exercício 48:
Pedido: determinar a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a com centro no centro da bola.
Dados: a condutividade térmica é K. A temperatura em um ponto da bola é inversamente proporcional à distância ao centro; isto é, existe uma constante C tal que
T(\mathbf{r})=\frac{C}{|\mathbf{r}|},
onde \mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} e |\mathbf{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Observação: a esfera S tem raio a e está centrada na origem (centro da bola).
Para o exercício 49:
Pedido: mostrar que o fluxo do campo \mathbf{F} através de uma esfera S com centro na origem é independente do raio de S.
Dados: \mathbf{F}(\mathbf{r})=c\,\dfrac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^{3}}, com c constante e \mathbf{r} como acima. A esfera S tem centro na origem e raio arbitrário a.
Agora que sabemos exatamente o que pedir e o que foi dado, vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Ferramenta física/matemática que usamos no problema 48 (explicação didática):
A taxa de transmissão de calor (fluxo de calor) através de uma superfície é dada pela integral de superfície do vetor fluxo de calor \mathbf{q} sobre essa superfície:
\text{Taxa de calor}=\iint_{S}\mathbf{q}\cdot d\mathbf{S}.
A lei de Fourier relaciona o vetor fluxo de calor \mathbf{q} com o gradiente da temperatura T:
\mathbf{q}=-K\,\nabla T,
onde K é a condutividade térmica (constante dada). Interpretação: o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura; o sinal negativo indica isso.
Preciso, portanto, calcular \nabla T para T(\mathbf{r})=C/|\mathbf{r}|, obter \mathbf{q} e integrar sobre a esfera.
Antes de calcular, explico o conceito de gradiente de uma função que depende só da distância radial: se f(\mathbf{r})=g(r) com r=|\mathbf{r}|, então a regra da cadeia dá
\nabla f(\mathbf{r})=g'(r)\,\frac{\mathbf{r}}{r}.
É uma fórmula muito útil: o gradiente aponta radialmente (mesma direção de \mathbf{r}) e tem magnitude g'(r).
Passo 3
Calcular \nabla T para T(\mathbf{r})=\dfrac{C}{r} com r=|\mathbf{r}|.
Observação geométrica: em qualquer ponto da esfera de raio a temos r=a, e o vetor \mathbf{r}/r é o versor radial (vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}}) apontando para fora. Assim, sobre a superfície S (raio a),
Calcular a integral de superfície do fluxo através de S:
O elemento vetorial de área é d\mathbf{S}=\hat{\mathbf{n}}\,dS, onde dS é a área elemental da superfície e \hat{\mathbf{n}} é o normal unitário para fora.
Então \mathbf{q}\cdot d\mathbf{S}=(\mathbf{q}\cdot\hat{\mathbf{n}})\,dS. Sobre S temos \mathbf{q}\cdot\hat{\mathbf{n}}=K C/a^{2} (constante).
A área da esfera de raio a é \,4\pi a^{2}. Substituindo:
\iint_{S}\mathbf{q}\cdot d\mathbf{S}=\frac{K C}{a^{2}}\cdot 4\pi a^{2}=4\pi K C.
Conclusão do item 48: a taxa de transmissão de calor através de qualquer esfera centrada na origem (qualquer raio a) é 4\pi K C, ou seja, independe de a.
Passo 6
Comentário didático rápido (para você lembrar na prova): a coisa é bonita porque a dependência radial 1/r faz o gradiente dar 1/r^{2}, e ao multiplicar pelo elemento de área r^{2}\,d\Omega (onde d\Omega é ângulo sólido) as dependências em a se cancelam. Isso é típico de campos radiais com comportamento em 1/r^{2} — fluxos através de esferas concentricas ficam constantes.
Agora resolvo o item 49, que é bem parecido e reforça o mesmo raciocínio.
Passo 7
Reescrevendo o que pede o item 49:
Campo dado: \mathbf{F}(\mathbf{r})=c\,\dfrac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^{3}}.
Pedir: mostrar que o fluxo de \mathbf{F} através de uma esfera centrada na origem é independente do raio (ou seja, é o mesmo para qualquer raio a).
Estratégia (explicação): como \mathbf{F} é radial (múltiplo de \mathbf{r}) e sobre a esfera r=a sua magnitude será constante, podemos calcular diretamente \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} de modo análogo ao item 48.
Passo 8
Avaliação direta do fluxo sobre a esfera de raio a:
Logo \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}=c/a^{2} (constante sobre a superfície).
O fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\frac{c}{a^{2}}\,dS=\frac{c}{a^{2}}\cdot 4\pi a^{2}=4\pi c.
Portanto o fluxo é 4\pi c, que não depende de a.
Passo 9
Comentário extra (opcional, para fixar o conceito): uma outra maneira de ver isso — que vale a pena saber para a prova — é usando o teorema da divergência (Teorema de Gauss). Para \mathbf{F}(\mathbf{r})=c\,\mathbf{r}/r^{3}, para r\neq 0 o divergente é zero. Uma forma rápida de calcular é usar coordenadas esféricas ou a fórmula para campos radiais: se \mathbf{F}=g(r)\,\hat{\mathbf{r}}, então
Aqui g(r)=c/r^{2}, então r^{2} g(r)=c e a derivada dá zero. Assim \nabla\cdot\mathbf{F}=0 fora da origem. O fato de o fluxo ser 4\pi c significa que a origem se comporta como uma “fonte” de intensidade 4\pi c (matematicamente, isso está ligado a uma distribuição de Dirac no divergente); mas não precisa decorar essa parte profunda agora — o cálculo direto feito no Passo 8 já resolve o problema da prova e é mais simples.
Passo 10
Recapitulando e dando ânimo: ambos os exercícios têm a mesma ideia central — campos ou gradientes com dependência radial tipo 1/r^{2} entregam um produto com a área da esfera que cancela a dependência em a. No exercício 48 o vetor fluxo de calor veio de -K\nabla T com T\propto 1/r e resultou em 4\pi K C. No exercício 49 o campo radial já dada produz 4\pi c. Isso é padrão: quando a magnitude do vetor na superfície é proporcional a 1/a^{2}, a integral sobre a superfície (área 4\pi a^{2}) costuma dar uma constante.