[2,0 pts.] 2) Parametrize a curva C definida por
C:\left\{\begin{array}{l} y=2-\sqrt{2 x^{2}+z^{2}} \\\ z^{2}+2 x^{2}=2 z \end{array}\right.
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) parametrizar a curva C definida pelo sistema
C:\left\{\begin{array}{l} y=2-\sqrt{2 x^{2}+z^{2}}\\[4pt] z^{2}+2 x^{2}=2 z \end{array}\right.
e (ii) esboçar duas das projeções dessa curva nos planos coordenados.
Informações dadas e relevantes: as duas equações acima relacionam as três coordenadas x,y,z. A segunda equação envolve apenas x e z e determina a projeção de C no plano xz. A primeira dá y em função de x e z. Não há outras informações adicionais.]

Passo 2

Vamos analisar a segunda equação para entender a forma no plano xz. A equação é
z^{2}+2x^{2}=2z.
Vou completar o quadrado em z. Reescrevo como
2x^{2}+z^{2}-2z=0.
Agora completo o quadrado em z:
2x^{2}+(z^{2}-2z+1)-1=0,
ou seja
2x^{2}+(z-1)^{2}=1.
Explicação didática: completar o quadrado significa transformar z^{2}-2z em (z-1)^{2}-1, porque (z-1)^{2}=z^{2}-2z+1. Isolando o termo constante obtemos a forma acima.
Essa última equação é a equação de uma elipse no plano xz, centrada em (x,z)=(0,1) com semi-eixo em x de tamanho \frac{1}{\sqrt{2}} (porque 2x^{2}=\frac{x^{2}}{(1/\sqrt{2})^{2}}) e semi-eixo em z de tamanho 1.

Passo 3

Parametrização da elipse (projeção no plano xz). Uma parametrização padrão para a elipse
\frac{x^{2}}{(1/\sqrt{2})^{2}}+\frac{(z-1)^{2}}{1^{2}}=1
é dada por
x(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\qquad z(t)=1+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Explicação didática: usamos \cos t para a coordenada x e \sin t para a coordenada deslocada z-1, com os fatores que garantem os comprimentos dos semi-eixos. O parâmetro t percorre a elipse uma vez quando vai de 0 a 2\pi.

Passo 4

Agora usamos a primeira equação para obter y em função de t. Observação importante: pela segunda equação temos exatamente
2x^{2}+z^{2}=2z.
Portanto dentro da raiz da primeira equação podemos substituir:
\sqrt{2x^{2}+z^{2}}=\sqrt{2z},
desde que a raiz esteja bem definida. Pela parametrização z(t)=1+\sin t obtemos z(t)\in[0,2], logo z\ge 0 e a raiz \sqrt{2z} é real sem problema.
Então
y(t)=2-\sqrt{2z(t)}=2-\sqrt{2\bigl(1+\sin t\bigr)}.
Logo uma parametrização completa da curva C é
x(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\qquad y(t)=2-\sqrt{2\bigl(1+\sin t\bigr)},\qquad z(t)=1+\sin t,
com t\in[0,2\pi).
Explicação didática: escrevemos y em termos de z usando a relação fornecida; como z já foi parametrizado pela elipse, expressamos y via o mesmo parâmetro t. Não há ambiguidade de sinal na raiz porque a definição original usou raiz positiva.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo x(t),z(t) em 2x^{2}+z^{2} obtemos
2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right)^{2}+(1+\sin t)^{2}=2\cdot\frac{\cos^{2}t}{2}+1+2\sin t+\sin^{2}t=\cos^{2}t+1+2\sin t+\sin^{2}t.
Como \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, isso dá 1+1+2\sin t=2(1+\sin t)=2z(t). Portanto \sqrt{2x^{2}+z^{2}}=\sqrt{2z} como usado, e y(t) fica consistente com a primeira equação.

Passo 6

Agora esboço (descrevo) duas projeções de C:
Projeção no plano xz: é a própria elipse que encontramos,
(z-1)^{2}+2x^{2}=1.
Pontos notáveis para desenhar: ponto superior (0,2) (quando t=\tfrac{\pi}{2}), ponto inferior (0,0) (quando t=\tfrac{3\pi}{2}), ponto direito \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\bigr) (quando t=0) e ponto esquerdo \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\bigr) (quando t=\pi). Centro em (0,1). É uma elipse alongada no eixo z.
Projeção no plano yz: eliminando x (ou usando a substituição já feita) obtemos a curva unívoca
y=2-\sqrt{2z},\qquad z\in[0,2].
Pontos notáveis: em z=0 temos y=2; em z=2 temos y=0. A curva é decrescente e suave no intervalo z\in(0,2]; mais exatamente y'(z)=-\dfrac{1}{\sqrt{2z}}<0 e y''(z)=(2z)^{-3/2}>0 (concavidade para cima). Para esboçar: começa no ponto (z,y)=(0,2) com inclinação muito negativa (verticalmente mais inclinada), e vai diminuindo até (2,0) com inclinação -\tfrac{1}{2}.
Dica de desenho rápido: desenhe primeiro a elipse no plano xz com os pontos indicados; para yz trace a curva decrescente entre (0,2) e (2,0).

Resposta

x(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\quad y(t)=2-\sqrt{2(1+\sin t)},\quad z(t)=1+\sin t,\quad t\in[0,2\pi)
Projeção no plano xz: (z-1)^{2}+2x^{2}=1 (elipse centrada em (0,1), semi-eixos 1/\sqrt{2} em x e 1 em z)
Projeção no plano yz: y=2-\sqrt{2z},\quad z\in[0,2] (curva decrescente de (0,2) até (2,0))

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