[2,0 pts.] 2) Parametrize a curva
definida por
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) parametrizar a curva
definida pelo sistema
e (ii) esboçar duas das projeções dessa curva nos planos coordenados.
Informações dadas e relevantes: as duas equações acima relacionam as três coordenadas . A segunda equação envolve apenas
e
e determina a projeção de
no plano
. A primeira dá
em função de
e
. Não há outras informações adicionais.]
Informações dadas e relevantes: as duas equações acima relacionam as três coordenadas
Passo 2
Vamos analisar a segunda equação para entender a forma no plano
. A equação é
Vou completar o quadrado em
. Reescrevo como
Agora completo o quadrado em
:
ou seja
Explicação didática: completar o quadrado significa transformar
em
, porque
. Isolando o termo constante obtemos a forma acima.
Essa última equação é a equação de uma elipse no plano
, centrada em
com semi-eixo em
de tamanho
(porque
) e semi-eixo em
de tamanho
.
Passo 3
Parametrização da elipse (projeção no plano
). Uma parametrização padrão para a elipse
é dada por
Explicação didática: usamos
para a coordenada
e
para a coordenada deslocada
, com os fatores que garantem os comprimentos dos semi-eixos. O parâmetro
percorre a elipse uma vez quando vai de
a
.
Passo 4
Agora usamos a primeira equação para obter
em função de
. Observação importante: pela segunda equação temos exatamente
Portanto dentro da raiz da primeira equação podemos substituir:
desde que a raiz esteja bem definida. Pela parametrização
obtemos
, logo
e a raiz
é real sem problema.
Então
Logo uma parametrização completa da curva
é
com
.
Explicação didática: escrevemos
em termos de
usando a relação fornecida; como
já foi parametrizado pela elipse, expressamos
via o mesmo parâmetro
. Não há ambiguidade de sinal na raiz porque a definição original usou raiz positiva.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo
em
obtemos
Como
, isso dá
. Portanto
como usado, e
fica consistente com a primeira equação.
Passo 6
Agora esboço (descrevo) duas projeções de
:
Projeção no plano
: é a própria elipse que encontramos,
Pontos notáveis para desenhar: ponto superior
(quando
), ponto inferior
(quando
), ponto direito
(quando
) e ponto esquerdo
(quando
). Centro em
. É uma elipse alongada no eixo
.
Projeção no plano
: eliminando
(ou usando a substituição já feita) obtemos a curva unívoca
Pontos notáveis: em
temos
; em
temos
. A curva é decrescente e suave no intervalo
; mais exatamente
e
(concavidade para cima). Para esboçar: começa no ponto
com inclinação muito negativa (verticalmente mais inclinada), e vai diminuindo até
com inclinação
.
Dica de desenho rápido: desenhe primeiro a elipse no plano
com os pontos indicados; para
trace a curva decrescente entre
e
.
Resposta
Projeção no plano
:
(elipse centrada em
, semi-eixos
em
e
em
)
Projeção no plano
:
(curva decrescente de
até
)