[1,5 pt.] 3) Calcule a integral
\int_{C} \sqrt{y^{2}+z^{2}} \underbrace{}_{\mid \vec{r}} d s(t) \mid d t
onde C: \vec{r}(t)=(t, t \cos t, t \operatorname{sen} t), t \in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \sqrt{y^{2}+z^{2}}\,ds
onde a curva C é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=(t,\;t\cos t,\;t\sin t),\qquad t\in[-1,1].
Informações relevantes fornecidas:
\text{para cada }t\in[-1,1]\text{ temos }x(t)=t,\;y(t)=t\cos t,\;z(t)=t\sin t.
O que se pede é a integral de uma função escalar ao longo de C, ou seja, somar \sqrt{y^{2}+z^{2}} ao longo do comprimento da curva.

Passo 2

Fórmula essencial (explicando bem): se temos uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com t\in[a,b] e uma função escalar f(x,y,z), a integral de linha de f sobre C é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(\vec{r}(t)\big)\,\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
O que cada coisa significa:
  • f\big(\vec{r}(t)\big) é a função escalar avaliada nos pontos da curva (substituir x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t)).
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetor da parametrização; \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é o módulo (norma) desse vetor, que dá a velocidade da parametrização; multiplicando por dt obtemos o elemento de comprimento ds.
    Essa fórmula é a base: substituir, calcular \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|, e integrar em t.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, a função é f(x,y,z)=\sqrt{y^{2}+z^{2}}. Primeiro avalio f na parametrização:
f\big(\vec{r}(t)\big)=\sqrt{(y(t))^{2}+(z(t))^{2}}=\sqrt{(t\cos t)^{2}+(t\sin t)^{2}}.
Agora simplifico essa expressão: fator comum t^{2},
\sqrt{(t\cos t)^{2}+(t\sin t)^{2}}=\sqrt{t^{2}\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big)}.
Lembrando que \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, temos
\sqrt{t^{2}\cdot 1}=\sqrt{t^{2}}=\lvert t\rvert.
Explicação: \sqrt{t^{2}}=\lvert t\rvert porque a raiz quadrada retorna o valor não negativo.

Passo 4

Agora calculo \vec{r}\,'(t). Derivando componente a componente,
\vec{r}\,'(t)=\big(1,\;\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t\big).
Aqui:
  • a derivada de t é 1;
  • a derivada de t\cos t usa a regra do produto: (t\cos t)'=\cos t - t\sin t;
  • a derivada de t\sin t é \sin t + t\cos t.

Passo 5

Calculo a norma \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{1^{2}+(\cos t - t\sin t)^{2}+(\sin t + t\cos t)^{2}}.
Vou desenvolver as duas últimas parcelas cuidadosamente:
(\cos t - t\sin t)^{2}=(\cos t)^{2}-2t\cos t\sin t + t^{2}\sin^{2}t,
(\sin t + t\cos t)^{2}=(\sin t)^{2}+2t\sin t\cos t + t^{2}\cos^{2}t.
Somando essas duas expressões os termos cruzados -2t\cos t\sin t e +2t\sin t\cos t se anulam. Então a soma é
(\cos t - t\sin t)^{2}+(\sin t + t\cos t)^{2}=(\cos^{2}t+\sin^{2}t)+t^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t).
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, temos
(\cos t - t\sin t)^{2}+(\sin t + t\cos t)^{2}=1+t^{2}.
Portanto
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{1+(1+t^{2})}=\sqrt{2+t^{2}}.

Passo 6

Substituo f(\vec{r}(t))=\lvert t\rvert e \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{t^{2}+2} na fórmula da integral:
\int_{C}\sqrt{y^{2}+z^{2}}\,ds = \int_{-1}^{1} \lvert t\rvert\,\sqrt{t^{2}+2}\,dt.
Observação útil: a função integranda \lvert t\rvert\sqrt{t^{2}+2} é uma função par (isto é, \text{valor em }-t é igual ao valor em t), pois \lvert -t\rvert=\lvert t\rvert e \sqrt{(-t)^{2}+2}=\sqrt{t^{2}+2}. Para funções pares,
\int_{-1}^{1} \lvert t\rvert\sqrt{t^{2}+2}\,dt = 2\int_{0}^{1} t\sqrt{t^{2}+2}\,dt,
aqui usei que para t\ge 0, \lvert t\rvert=t.

Passo 7

Calculo a integral
I=2\int_{0}^{1} t\sqrt{t^{2}+2}\,dt.
Faço a substituição padrão para integrais com t\sqrt{t^{2}+a}: ponho
u=t^{2}+2\quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{1}{2}\,du.
Quando t=0 temos u=2; quando t=1 temos u=3. Assim
\int_{0}^{1} t\sqrt{t^{2}+2}\,dt=\frac{1}{2}\int_{2}^{3} u^{1/2}\,du.
Integro u^{1/2}:
\frac{1}{2}\int_{2}^{3} u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{2}^{3}=\frac{1}{3}\big(3^{3/2}-2^{3/2}\big).
Multiplicando por 2 (lembre que I=2 vezes isso),
I=2\cdot\frac{1}{3}\big(3^{3/2}-2^{3/2}\big)=\frac{2}{3}\big(3^{3/2}-2^{3/2}\big).

Passo 8

Simplifico a forma da resposta usando raízes:
3^{3/2}=3\sqrt{3},\qquad 2^{3/2}=2\sqrt{2}.
Portanto a integral vale
\frac{2}{3}\big(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\big).
Pequeno comentário motivador: pronto — a conta ficou limpa porque a parte \sqrt{y^{2}+z^{2}} simplificou para \lvert t\rvert e várias cancelamentos aconteceram ao calcular \|\vec{r}\,'(t)\|. Boa!

Resposta

\dfrac{2}{3}\big(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\big)

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