\text{para cada }t\in[-1,1]\text{ temos }x(t)=t,\;y(t)=t\cos t,\;z(t)=t\sin t.
O que se pede é a integral de uma função escalar ao longo de C, ou seja, somar \sqrt{y^{2}+z^{2}} ao longo do comprimento da curva.
Passo 2
Fórmula essencial (explicando bem): se temos uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com t\in[a,b] e uma função escalar f(x,y,z), a integral de linha de f sobre C é
f\big(\vec{r}(t)\big) é a função escalar avaliada nos pontos da curva (substituir x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t)).
\vec{r}\,'(t) é a derivada vetor da parametrização; \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é o módulo (norma) desse vetor, que dá a velocidade da parametrização; multiplicando por dt obtemos o elemento de comprimento ds.
Essa fórmula é a base: substituir, calcular \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|, e integrar em t.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, a função é f(x,y,z)=\sqrt{y^{2}+z^{2}}. Primeiro avalio f na parametrização:
Observação útil: a função integranda \lvert t\rvert\sqrt{t^{2}+2} é uma função par (isto é, \text{valor em }-t é igual ao valor em t), pois \lvert -t\rvert=\lvert t\rvert e \sqrt{(-t)^{2}+2}=\sqrt{t^{2}+2}. Para funções pares,
Pequeno comentário motivador: pronto — a conta ficou limpa porque a parte \sqrt{y^{2}+z^{2}} simplificou para \lvert t\rvert e várias cancelamentos aconteceram ao calcular \|\vec{r}\,'(t)\|. Boa!