[2.] Resolva a seguinte EDO não linear,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
onde
é função de
e o apóstrofo indica derivada em relação a
. A pergunta é: encontrar a solução geral
(família de soluções) compatível com essa equação, lembrando que a equação não está definida quando
.
Passo 2
Identificar um método adequado e explicar a ideia: esta equação é separável. “Separável” significa que dá para escrever a derivada como um produto de uma função só de
e outra só de
, isto é, na forma
Quando isso ocorre, podemos separar as variáveis e integrar cada lado em relação à sua variável: colocar todos os termos com
em um lado (multiplicando por
e por
quando necessário) e todos os termos com
no outro, depois integrar. Aqui podemos reescrever a equação como
Multiplicando ambos os lados por
e por
(válido enquanto trabalhamos em intervalos onde
) obtemos a separação:
Passo 3
Integrar os dois lados: agora integramos em relação às suas variáveis:
Calcule as integrais explicitamente. Do lado esquerdo,
onde
é uma constante de integração. Do lado direito,
onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Igualar as primitivas e juntar as constantes: como as duas integrais diferem apenas por uma constante, podemos escrever
onde
é uma constante arbitrária (resultado de
). Multiplicando por
para simplificar,
onde
é outra constante arbitrária. Para ficar mais limpinho, vamos renomear
de volta para
. Assim obtemos a forma implícita da família de soluções:
Passo 5
Interpretar e escrever a forma explícita: da relação implícita temos
Para obter
isolado,
Aqui o sinal
ou
corresponde a duas possíveis ramos (duas soluções distintas) numa mesma vizinhança; numa solução contínua em um intervalo conectado deve-se escolher um dos sinais (não se troca arbitrariamente o sinal sem perder diferenciabilidade). Além disso, para que
seja real é necessário que o radicando seja não negativo, isto é
o que restringe o domínio de
a
Observação sobre
: se
então não existem soluções reais com
(exceto o caso degenerado em pontos isolados), por isso para soluções reais não triviais devemos ter
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução explícita
pelo método da cadeia,
Como
, isso dá
que é exatamente a EDO dada. A verificação para o ramo negativo funciona analogamente (o sinal se cancela).