[2.] Resolva a seguinte EDO não linear,
y^{\prime}=-\frac{4 x}{9 y}, \quad y \neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' = -\frac{4x}{9y},\qquad y\neq 0,
onde y é função de x e o apóstrofo indica derivada em relação a x. A pergunta é: encontrar a solução geral y(x) (família de soluções) compatível com essa equação, lembrando que a equação não está definida quando y=0.

Passo 2

Identificar um método adequado e explicar a ideia: esta equação é separável. “Separável” significa que dá para escrever a derivada como um produto de uma função só de x e outra só de y, isto é, na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
Quando isso ocorre, podemos separar as variáveis e integrar cada lado em relação à sua variável: colocar todos os termos com y em um lado (multiplicando por dx e por y quando necessário) e todos os termos com x no outro, depois integrar. Aqui podemos reescrever a equação como
\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9y}.
Multiplicando ambos os lados por y e por dx (válido enquanto trabalhamos em intervalos onde y\neq 0) obtemos a separação:
y\,dy = -\frac{4}{9}\,x\,dx.

Passo 3

Integrar os dois lados: agora integramos em relação às suas variáveis:
\int y\,dy = \int -\frac{4}{9}\,x\,dx.
Calcule as integrais explicitamente. Do lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^2 + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Do lado direito,
\int -\frac{4}{9}\,x\,dx = -\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}x^2 + C_2 = -\frac{2}{9}x^2 + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 4

Igualar as primitivas e juntar as constantes: como as duas integrais diferem apenas por uma constante, podemos escrever
\frac{1}{2}y^2 = -\frac{2}{9}x^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária (resultado de C_2-C_1). Multiplicando por 2 para simplificar,
y^2 = -\frac{4}{9}x^2 + C',
onde C' = 2C é outra constante arbitrária. Para ficar mais limpinho, vamos renomear C' de volta para C. Assim obtemos a forma implícita da família de soluções:
y^2 + \frac{4}{9}x^2 = C.

Passo 5

Interpretar e escrever a forma explícita: da relação implícita temos
y^2 = C - \frac{4}{9}x^2.
Para obter y isolado,
y(x)=\pm\sqrt{\,C - \frac{4}{9}x^2\,}.
Aqui o sinal + ou - corresponde a duas possíveis ramos (duas soluções distintas) numa mesma vizinhança; numa solução contínua em um intervalo conectado deve-se escolher um dos sinais (não se troca arbitrariamente o sinal sem perder diferenciabilidade). Além disso, para que y(x) seja real é necessário que o radicando seja não negativo, isto é
C - \frac{4}{9}x^2 \ge 0,
o que restringe o domínio de x a
|x|\le \frac{3}{2}\sqrt{C}.
Observação sobre C: se C\le 0 então não existem soluções reais com y\neq 0 (exceto o caso degenerado em pontos isolados), por isso para soluções reais não triviais devemos ter C>0.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução explícita y(x)=\sqrt{C-\tfrac{4}{9}x^2} pelo método da cadeia,
y'=\frac{1}{2}\big(C-\tfrac{4}{9}x^2\big)^{-1/2}\cdot\big(-\tfrac{8}{9}x\big) = -\frac{4x}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt{C-\tfrac{4}{9}x^2}}.
Como y=\sqrt{C-\tfrac{4}{9}x^2}, isso dá
y'=-\frac{4x}{9y},
que é exatamente a EDO dada. A verificação para o ramo negativo funciona analogamente (o sinal se cancela).

Resposta

y^2 + \frac{4}{9}x^2 = C,\quad C>0
y(x)=\pm\sqrt{\,C - \frac{4}{9}x^2\,},\quad C>0,\\ \text{domínio: }|x|\le\frac{3}{2}\sqrt{C}í

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