[1.] Verifique se a seguinte EDO tem coeficientes homogêneos,
\left(2 y^{4}+x^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0
caso seja afirmativo, encontre a função solução.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(2 y^{4}+x^{4}\right) d x - x y^{3} d y = 0.
Perguntas que o enunciado faz:
  • Verificar se os coeficientes são homogêneos.
  • Se afirmativo, encontrar a função solução.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • O termo multiplicando d x é M(x,y)=2 y^{4}+x^{4}.
  • O termo multiplicando d y é N(x,y)=-x y^{3}.

Passo 2

O que significa ter coeficientes homogêneos (explicação didática): uma função F(x,y) é homogênea de grau k quando para todo t vale F(tx,ty)=t^{k}F(x,y). Para uma equação diferencial no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 dizer que os coeficientes são homogêneos normalmente significa que M e N são homogêneas do mesmo grau k.
Vamos verificar os graus de M e N:
  • M(x,y)=2 y^{4}+x^{4}. Ambos os termos 2y^{4} e x^{4} têm grau 4 (pois y^{4} e x^{4} são monômios de grau 4). Logo M é homogênea de grau 4.
  • N(x,y)=-x y^{3}. O monômio x y^{3} tem grau 1+3=4. Logo N é homogênea de grau 4.
Conclusão: M e N são homogêneas do mesmo grau ( 4), portanto os coeficientes são homogêneos. Agora partimos para resolver a equação.

Passo 3

Transformar a equação para uma forma mais conveniente e escolher substituição (explicação didática): para equações com M e N homogêneas do mesmo grau é muito útil usar a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Essa substituição reduz a equação a uma equação separável em v e x. Antes de substituir, escrevemos a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots.
A partir de
\left(2 y^{4}+x^{4}\right) d x - x y^{3} d y = 0
temos
\left(2 y^{4}+x^{4}\right) - x y^{3}\frac{dy}{dx}=0
e então
\frac{dy}{dx}=\frac{2 y^{4}+x^{4}}{x y^{3}}.
Simplificando o lado direito:
\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}+\frac{x^{3}}{y^{3}}.
Agora aplicamos a substituição y=vx. Lembrete (fórmula usada): se y=vx, então
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Fazer a substituição e obter equação separável (passo a passo):
Substituindo y=vx em \dfrac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}+\dfrac{x^{3}}{y^{3}} obtemos
v + x\frac{dv}{dx}=2v + \frac{x^{3}}{(v x)^{3}}.
Calcule o termo \dfrac{x^{3}}{(v x)^{3}}:
\frac{x^{3}}{(v x)^{3}}=\frac{x^{3}}{v^{3}x^{3}}=\frac{1}{v^{3}}.
Portanto a equação fica
v + x\frac{dv}{dx}=2v+\frac{1}{v^{3}}.
Isolando x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}= (2v+\frac{1}{v^{3}}) - v = v + \frac{1}{v^{3}}.
Escrevendo de forma separável:
\frac{dv}{v + \dfrac{1}{v^{3}}}=\frac{dx}{x}.
Simplificamos o lado esquerdo: v + \dfrac{1}{v^{3}}=\dfrac{v^{4}+1}{v^{3}}, logo
\frac{dv}{v + \dfrac{1}{v^{3}}}=\frac{v^{3}\,dv}{v^{4}+1}.
Agora integramos ambos os lados (explicação da técnica de integração): para integrar \dfrac{v^{3}}{v^{4}+1}\,dv usamos a substituição u=v^{4}+1, que dá du=4v^{3}dv, isto é v^{3}dv=\dfrac{du}{4}.
Assim
\int \frac{v^{3}\,dv}{v^{4}+1}=\int \frac{1}{4}\frac{du}{u}=\frac{1}{4}\ln|u|+C=\frac{1}{4}\ln\!\bigl(v^{4}+1\bigr)+C.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Igualando (juntando constantes em uma só constante C):
\frac{1}{4}\ln\!\bigl(v^{4}+1\bigr)=\ln|x|+C.
Multiplicando por 4 e exponenciando (explicação: passar do log para forma algébrica):
\ln\!\bigl(v^{4}+1\bigr)=4\ln|x|+C_1
v^{4}+1 = C x^{4},
onde C=e^{C_1} é uma constante arbitrária positiva/negativa dependendo do C_1.

Passo 5

Voltar à variável original y e simplificar a solução (passo a passo):
Lembremos que v=\dfrac{y}{x}. Substituindo em v^{4}+1=C x^{4} obtemos
\left(\frac{y}{x}\right)^{4}+1=C x^{4}.
Multiplicando ambos os lados por x^{4}:
y^{4}+x^{4}=C x^{8}.
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial. Pode-se deixar a constante C arbitrária (real não-nula) ou, se preferir, escrever C como C_2 incluindo x-dependência de expoente absorvida na constante; a forma acima é a forma implícita conveniente e completa.
Observação final e incentivo: deu trabalho, mas o padrão foi reconhecer homogeneidade, usar y=vx, reduzir a uma integral que vira log, e voltar à original. Você já consegue aplicar isso em questões parecidas — vai com confiança!

Resposta

y^{4}+x^{4}=C x^{8}.

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