[1.] Verifique se a seguinte EDO tem coeficientes homogêneos,
caso seja afirmativo, encontre a função solução.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
Perguntas que o enunciado faz:
- Verificar se os coeficientes são homogêneos.
- Se afirmativo, encontrar a função solução.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- O termo multiplicando
é . - O termo multiplicando
é .
Passo 2
O que significa ter coeficientes homogêneos (explicação didática): uma função
é homogênea de grau
quando para todo
vale
. Para uma equação diferencial no formato
dizer que os coeficientes são homogêneos normalmente significa que
e
são homogêneas do mesmo grau
.
Vamos verificar os graus de
e
:
-
. Ambos os termos e têm grau (pois e são monômios de grau 4). Logo é homogênea de grau . -
. O monômio tem grau . Logo é homogênea de grau .
Conclusão:
e
são homogêneas do mesmo grau (
), portanto os coeficientes são homogêneos. Agora partimos para resolver a equação.
Passo 3
Transformar a equação para uma forma mais conveniente e escolher substituição (explicação didática): para equações com
e
homogêneas do mesmo grau é muito útil usar a substituição
onde
é função de
. Essa substituição reduz a equação a uma equação separável em
e
. Antes de substituir, escrevemos a equação na forma
.
A partir de
temos
e então
Simplificando o lado direito:
Agora aplicamos a substituição
. Lembrete (fórmula usada): se
, então
Passo 4
Fazer a substituição e obter equação separável (passo a passo):
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Calcule o termo
:
Portanto a equação fica
Isolando
:
Escrevendo de forma separável:
Simplificamos o lado esquerdo:
, logo
Agora integramos ambos os lados (explicação da técnica de integração): para integrar
usamos a substituição
, que dá
, isto é
.
Assim
No lado direito,
Igualando (juntando constantes em uma só constante
):
Multiplicando por
e exponenciando (explicação: passar do log para forma algébrica):
onde
é uma constante arbitrária positiva/negativa dependendo do
.
Passo 5
Voltar à variável original
e simplificar a solução (passo a passo):
Lembremos que . Substituindo em
obtemos
Lembremos que
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial. Pode-se deixar a constante
arbitrária (real não-nula) ou, se preferir, escrever
como
incluindo
-dependência de expoente absorvida na constante; a forma acima é a forma implícita conveniente e completa.
Observação final e incentivo: deu trabalho, mas o padrão foi reconhecer homogeneidade, usar
, reduzir a uma integral que vira log, e voltar à original. Você já consegue aplicar isso em questões parecidas — vai com confiança!