20 Considere
. No ponto
:
(a) Em que direção
cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento máximo?
(b) Em que direção
decresce mais rapidamente? Qual a taxa de decrescimento máximo?
(c) Quais são as direções de variação zero de
em
?
(a) Em que direção
(b) Em que direção
(c) Quais são as direções de variação zero de
Passo 1
O enunciado pede, para a função
no ponto
,
(a) a direção de crescimento mais rápido e a respectiva taxa,
(b) a direção de decrescimento mais rápido e a respectiva taxa,
(c) as direções em que a variação é zero.
Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional e de gradiente:
– o vetor aponta para a direção de crescimento máximo,
– o seu oposto aponta para decrescimento máximo,
– vetores ortogonais a dão variação nula.
(a) a direção de crescimento mais rápido e a respectiva taxa,
(b) a direção de decrescimento mais rápido e a respectiva taxa,
(c) as direções em que a variação é zero.
Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional e de gradiente:
– o vetor
– o seu oposto aponta para decrescimento máximo,
– vetores ortogonais a
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
.
Para :
Para
Para
:
Logo,
Passo 3
Avaliar
em
.
O denominador é
O denominador é
Logo
A norma desse vetor é
Passo 4
(a) Direção de crescimento máximo e taxa.
A direção unitária é
A direção unitária é
A taxa máxima de crescimento é
.
Passo 5
(b) Direção de decrescimento máximo e taxa.
Basta pegar o oposto da direção do gradiente:
Basta pegar o oposto da direção do gradiente:
A taxa máxima de decrescimento é
Passo 6
(c) Direções de variação zero.
Procuramos vetores unitários tais que
Procuramos vetores unitários
Impondo
,
As direções nulas são
.
Resposta
(a) Direção de crescimento máximo:
. Taxa máxima de crescimento:
(b) Direção de decrescimento máximo: . Taxa de decrescimento:
(c) Direções de variação zero: e
(b) Direção de decrescimento máximo:
(c) Direções de variação zero: