20 Considere f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right). No ponto P=(2,-1) :
(a) Em que direção f cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento máximo?
(b) Em que direção f decresce mais rapidamente? Qual a taxa de decrescimento máximo?
(c) Quais são as direções de variação zero de f em P ?

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)
no ponto P=(2,-1),
(a) a direção de crescimento mais rápido e a respectiva taxa,
(b) a direção de decrescimento mais rápido e a respectiva taxa,
(c) as direções em que a variação é zero.
Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional e de gradiente:
– o vetor \nabla f(P) aponta para a direção de crescimento máximo,
– o seu oposto aponta para decrescimento máximo,
– vetores ortogonais a \nabla f(P) dão variação nula.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Para x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
Para y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.
Logo,
\nabla f(x,y)=\Bigl(\tfrac{2x}{1+x^{2}+y^{2}},\,\tfrac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\Bigr).

Passo 3

Avaliar \nabla f em P=(2,-1).
O denominador é
1+2^{2}+(-1)^{2}=1+4+1=6.
Logo
\nabla f(2,-1) =\Bigl(\tfrac{4}{6},\,\tfrac{-2}{6}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{3}\Bigr).
A norma desse vetor é
\|\nabla f(2,-1)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}} =\frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 4

(a) Direção de crescimento máximo e taxa.
A direção unitária é
\frac{\nabla f(2,-1)}{\|\nabla f(2,-1)\|} =\frac{\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr)}{\tfrac{\sqrt5}{3}} =\frac{(2,-1)}{\sqrt5}.
A taxa máxima de crescimento é \|\nabla f(2,-1)\|=\tfrac{\sqrt5}{3}.

Passo 5

(b) Direção de decrescimento máximo e taxa.
Basta pegar o oposto da direção do gradiente:
-\frac{(2,-1)}{\sqrt5} =\frac{(-2,1)}{\sqrt5}.
A taxa máxima de decrescimento é
-\|\nabla f(2,-1)\| =-\frac{\sqrt5}{3}.

Passo 6

(c) Direções de variação zero.
Procuramos vetores unitários u=(u_{1},u_{2}) tais que
\nabla f(2,-1)\cdot u =\frac{2}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2u_{1}-u_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u_{2}=2u_{1}.
Impondo \|u\|=1,
u_{1}^{2}+(2u_{1})^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 5u_{1}^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad u_{1=\pm}\frac{1}{\sqrt5},\;u_{2=\pm}\frac{2}{\sqrt5}.
As direções nulas são \pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\,\tfrac{2}{\sqrt5}\bigr).

Resposta

(a) Direção de crescimento máximo: \displaystyle\frac{(2,-1)}{\sqrt5}. Taxa máxima de crescimento: \displaystyle\frac{\sqrt5}{3}.
(b) Direção de decrescimento máximo: \displaystyle\frac{(-2,1)}{\sqrt5}. Taxa de decrescimento: \displaystyle -\frac{\sqrt5}{3}.
(c) Direções de variação zero: \displaystyle\frac{(1,2)}{\sqrt5} e \displaystyle-\frac{(1,2)}{\sqrt5}.

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