[20%] A partir da equação caracteristica de um sistema, representado por
q(s)=s^{5}+s^{4}+4 s^{3}+24 s^{2}+3 s+63 \quad \text { Q estógio }ó
verifique i) o número de polos instáveis, ii) a estabilidade deste sistema e iii) as raízes localizadas no eixo imaginário.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio característico do sistema e pede três coisas:
  • i) o número de polos instáveis (isto é, quantas raízes têm parte real positiva);
  • ii) se o sistema é estável, marginalmente estável ou instável;
  • iii) quais são as raízes localizadas no eixo imaginário (raízes puramente imaginárias).
Dados fornecidos (vou listar os coeficientes do polinómio):
q(s)=s^{5}+s^{4}+4s^{3}+24s^{2}+3s+63.
Coeficientes em ordem decrescente de s: 1,\;1,\;4,\;24,\;3,\;63.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas):
  • Vou usar a construção da tabela de Routh (tabela de Routh–Hurwitz) porque ela permite contar quantas raízes têm parte real positiva apenas observando o primeiro elemento de cada linha da tabela.
  • Regra prática para construir a tabela: organizamos os coeficientes em duas primeiras linhas (linha do grau máximo e a seguinte), e as linhas seguintes são geradas por fórmulas do tipo
\text{elemento} = \frac{(\text{primeiro elemento da linha de baixo})\cdot(\text{elemento à direita na linha de cima}) - (\text{primeiro elemento da linha de cima})\cdot(\text{elemento à direita na linha de baixo})}{\text{primeiro elemento da linha de baixo}}.àà
  • Se aparecer uma linha inteira de zeros, isso indica que existe um par de raízes simétricas em relação à origem (tipicamente um par puro-imaginário). Nesse caso formamos o polinómio auxiliar a partir da linha acima da linha de zeros, e as raízes do polinómio auxiliar (ou suas derivadas) nos dão as raízes no eixo imaginário. Vou mostrar isso com calma quando acontecer.
Agora vamos aplicar isso ao polinómio dado, calculando cada elemento explicitamente.

Passo 3

Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh a partir dos coeficientes:
Linha s^5: coeficientes das potências ímpares a partir de s^5: 1,\;4,\;3. Escrevo como
\text{linha }s^5:\quad 1\quad 4\quad 3.
Linha s^4: coeficientes das potências pares a partir de s^4: 1,\;24,\;63. Escrevo como
\text{linha }s^4:\quad 1\quad 24\quad 63.

Passo 4

Cálculo da linha s^3. Vou usar a fórmula explicitando os termos para não confundir:
Seja a linha s^5 com elementos a_0=1,\;a_2=4,\;a_4=3 e a linha s^4 com b_0=1,\;b_2=24,\;b_4=63. Então o primeiro elemento da linha s^3 é
c_0=\frac{b_0\cdot a_2 - a_0\cdot b_2}{b_0} =\frac{1\cdot 4 - 1\cdot 24}{1} = 4-24 = -20.
O segundo elemento da linha s^3 é
c_1=\frac{b_0\cdot a_4 - a_0\cdot b_4}{b_0} =\frac{1\cdot 3 - 1\cdot 63}{1} = 3-63 = -60.
Portanto
\text{linha }s^3:\quad -20\quad -60.

Passo 5

Cálculo da linha s^2 a partir de s^3 e s^4. Use a mesma fórmula com os novos rótulos: linha s^3 tem c_0=-20,\;c_1=-60; linha s^4 tem b_0=1,\;b_1=24.
Primeiro elemento da linha s^2:
d_0=\frac{c_0\cdot b_1 - b_0\cdot c_1}{c_0} =\frac{-20\cdot 24 - 1\cdot(-60)}{-20} =\frac{-480 + 60}{-20} =\frac{-420}{-20}=21.
Segundo elemento da linha s^2:
d_1=\frac{c_0\cdot b_2 - b_0\cdot c_2}{c_0}.
Aqui b_2=63 e c_2=0 (não existe terceiro elemento em s^3, então tomamos c_2=0). Assim
d_1=\frac{-20\cdot 63 - 1\cdot 0}{-20}=\frac{-1260}{-20}=63.
Logo
\text{linha }s^2:\quad 21\quad 63.

Passo 6

Cálculo da linha s^1 usando as linhas s^2 e s^3. Com d_0=21,\;d_1=63 (linha s^2) e c_0=-20,\;c_1=-60 (linha s^3), o primeiro elemento da linha s^1 é
e_0=\frac{d_0\cdot c_1 - c_0\cdot d_1}{d_0} =\frac{21\cdot(-60) - (-20)\cdot 63}{21} =\frac{-1260 +1260}{21} = \frac{0}{21}=0.
O segundo elemento também será zero (não há termos adicionais). Portanto obtemos uma linha inteira de zeros:
\text{linha }s^1:\quad 0\quad 0.
Quando aparece uma linha toda zero, isso indica a presença de uma porção do polinómio característico que é um polinómio simétrico (um polinómio par em s ou formado por potências pares) e normalmente reflete a existência de raízes no eixo imaginário em pares. Para descobrir essas raízes usamos o polinómio auxiliar.

Passo 7

Formação do polinómio auxiliar a partir da linha imediatamente acima da linha de zeros (a linha s^2). A linha s^2 tem elementos 21 e 63, que correspondem aos coeficientes do polinómio auxiliar A(s) com potências decrescentes de s de grau igual ao índice da linha (aqui grau 2):
A(s)=21s^{2}+63.
Para substituir a linha de zeros e continuar a tabela de Routh, calculamos a derivada de A(s):
A'(s)=\frac{d}{ds}(21s^{2}+63)=42s.
Os coeficientes de A'(s) (organizados como linha) serão usados no lugar da linha zero. Assim substituímos a linha s^1 por:
\text{linha }s^1:\quad 42\quad 0
(42 é o coeficiente de s em A'(s), o próximo termo é zero).

Passo 8

Agora calculamos a última linha s^0 usando as linhas s^1 e s^2. Com linha s^1 tendo e_0=42,\;e_1=0 e linha s^2 com d_0=21,\;d_1=63, o elemento de s^0 é
f_0=\frac{e_0\cdot d_1 - d_0\cdot e_1}{e_0} =\frac{42\cdot 63 - 21\cdot 0}{42} =\frac{2646}{42}=63.
Portanto
\text{linha }s^0:\quad 63.

Passo 9

Agora extraímos a primeira coluna da tabela de Routh (os primeiros elementos de cada linha), que é o que nos interessa para contar mudanças de sinal:
\begin{array}{c} s^{5}: 1\\[4pt] s^{4}: 1\\[4pt] s^{3}: -20\\[4pt] s^{2}: 21\\[4pt] s^{1}: 42\\[4pt] s^{0}: 63 \end{array}
Contamos o número de mudanças de sinal nessa sequência:
  • 1 \to 1 : sem mudança.
  • 1 \to -20 : 1ª mudança (positivo para negativo).
  • -20 \to 21 : 2ª mudança (negativo para positivo).
  • 21 \to 42 : sem mudança.
  • 42 \to 63 : sem mudança.
Total de mudanças de sinal = 2.
Pelo critério de Routh, o número de raízes com parte real positiva (polos instáveis) é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna: portanto há 2 polos instáveis.]

Passo 10

Identificação das raízes no eixo imaginário: elas aparecem quando formamos o polinómio auxiliar A(s)=21s^{2}+63 (passo 7). Igualando a zero para encontrar raízes:
21s^{2}+63=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{2} + 3 = 0
(dividindo ambos os lados por 21).
Portanto
s^{2} = -3 \quad\Longrightarrow\quad s = \pm j\sqrt{3}.
Essas são duas raízes puramente imaginárias localizadas no eixo imaginário.

Passo 11

Conclusão sobre estabilidade: para um sistema ser estável (assintoticamente estável) todas as raízes devem ter parte real estritamente negativa — isto daria zero mudanças de sinal na primeira coluna. Aqui temos 2 mudanças de sinal (dois polos com parte real positiva), logo o sistema é instável. Além disso, há raízes puramente imaginárias ( \pm j\sqrt{3}), o que impede qualquer classificação de estabilidade marginal que só ocorreria se não houvesse polos no semiplano direito.

Resposta

i) 2 polos instáveis.
ii) O sistema é instável.
iii) Raízes no eixo imaginário: s=\pm j\sqrt{3}.

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