[20%] A partir da equação caracteristica de um sistema, representado por
verifique i) o número de polos instáveis, ii) a estabilidade deste sistema e iii) as raízes localizadas no eixo imaginário.
Passo 1
O enunciado dá o polinómio característico do sistema e pede três coisas:
- i) o número de polos instáveis (isto é, quantas raízes têm parte real positiva);
- ii) se o sistema é estável, marginalmente estável ou instável;
- iii) quais são as raízes localizadas no eixo imaginário (raízes puramente imaginárias).
Dados fornecidos (vou listar os coeficientes do polinómio):
Coeficientes em ordem decrescente de
:
.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas):
- Vou usar a construção da tabela de Routh (tabela de Routh–Hurwitz) porque ela permite contar quantas raízes têm parte real positiva apenas observando o primeiro elemento de cada linha da tabela.
- Regra prática para construir a tabela: organizamos os coeficientes em duas primeiras linhas (linha do grau máximo e a seguinte), e as linhas seguintes são geradas por fórmulas do tipo
- Se aparecer uma linha inteira de zeros, isso indica que existe um par de raízes simétricas em relação à origem (tipicamente um par puro-imaginário). Nesse caso formamos o polinómio auxiliar a partir da linha acima da linha de zeros, e as raízes do polinómio auxiliar (ou suas derivadas) nos dão as raízes no eixo imaginário. Vou mostrar isso com calma quando acontecer.
Agora vamos aplicar isso ao polinómio dado, calculando cada elemento explicitamente.
Passo 3
Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh a partir dos coeficientes:
Linha
: coeficientes das potências ímpares a partir de
:
. Escrevo como
Linha
: coeficientes das potências pares a partir de
:
. Escrevo como
Passo 4
Cálculo da linha
. Vou usar a fórmula explicitando os termos para não confundir:
Seja a linha
com elementos
e a linha
com
. Então o primeiro elemento da linha
é
O segundo elemento da linha
é
Portanto
Passo 5
Cálculo da linha
a partir de
e
. Use a mesma fórmula com os novos rótulos: linha
tem
; linha
tem
.
Primeiro elemento da linha
:
Segundo elemento da linha
:
Aqui
e
(não existe terceiro elemento em
, então tomamos
). Assim
Logo
Passo 6
Cálculo da linha
usando as linhas
e
. Com
(linha
) e
(linha
), o primeiro elemento da linha
é
O segundo elemento também será zero (não há termos adicionais). Portanto obtemos uma linha inteira de zeros:
Quando aparece uma linha toda zero, isso indica a presença de uma porção do polinómio característico que é um polinómio simétrico (um polinómio par em
ou formado por potências pares) e normalmente reflete a existência de raízes no eixo imaginário em pares. Para descobrir essas raízes usamos o polinómio auxiliar.
Passo 7
Formação do polinómio auxiliar a partir da linha imediatamente acima da linha de zeros (a linha
). A linha
tem elementos
e
, que correspondem aos coeficientes do polinómio auxiliar
com potências decrescentes de
de grau igual ao índice da linha (aqui grau 2):
Para substituir a linha de zeros e continuar a tabela de Routh, calculamos a derivada de
:
Os coeficientes de
(organizados como linha) serão usados no lugar da linha zero. Assim substituímos a linha
por:
(42 é o coeficiente de
em
, o próximo termo é zero).
Passo 8
Agora calculamos a última linha
usando as linhas
e
. Com linha
tendo
e linha
com
, o elemento de
é
Portanto
Passo 9
Agora extraímos a primeira coluna da tabela de Routh (os primeiros elementos de cada linha), que é o que nos interessa para contar mudanças de sinal:
Contamos o número de mudanças de sinal nessa sequência:
-
: sem mudança. -
: 1ª mudança (positivo para negativo). -
: 2ª mudança (negativo para positivo). -
: sem mudança. -
: sem mudança.
Total de mudanças de sinal = 2.
Pelo critério de Routh, o número de raízes com parte real positiva (polos instáveis) é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna: portanto há 2 polos instáveis.]
Passo 10
Identificação das raízes no eixo imaginário: elas aparecem quando formamos o polinómio auxiliar
(passo 7). Igualando a zero para encontrar raízes:
(dividindo ambos os lados por 21).
Portanto
Essas são duas raízes puramente imaginárias localizadas no eixo imaginário.
Passo 11
Conclusão sobre estabilidade: para um sistema ser estável (assintoticamente estável) todas as raízes devem ter parte real estritamente negativa — isto daria zero mudanças de sinal na primeira coluna. Aqui temos 2 mudanças de sinal (dois polos com parte real positiva), logo o sistema é instável. Além disso, há raízes puramente imaginárias (
), o que impede qualquer classificação de estabilidade marginal que só ocorreria se não houvesse polos no semiplano direito.
Resposta
i)
polos instáveis.
ii) O sistema é instável.
iii) Raízes no eixo imaginário:
.