Série de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática usada para analisar funções periódicas complexas. Ela nos permite decompor essas funções em uma soma de componentes senoidais mais simples, com senos e cossenos. Essa representação é especialmente útil para entender e simplificar o comportamento de sinais periódicos em diversas áreas, como processamento de sinais, comunicações, acústica e engenharia elétrica. A ideia fundamental por trás da série de fourier é que qualquer função periódica pode ser expressa como uma combinação infinita dessas ondas senoidais. Essa decomposição nos ajuda a entender como diferentes frequências contribuem para a forma geral do sinal.
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático e físico frances, introduziu essa técnica no inficio do século XIX. Ele mostrou que funções complexas podem ser representadas como uma soma ponderada de senos e cossenos, permitindo-nos analisar e sintetizar sinais de maneira mais eficiente. Diante disso, determine as representações em série de Fourier para os sinais apresentados nos itens a seguir.
(C) x(t)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{t}{4}},-\pi \leq t \leq \pi \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right. é chamado de sinal 2 \pi-periódico. Calcule sua representaçạo em série de Fourier
Passo 1
O enunciado dá a função periódica de período 2\pi\) definida por
\[x(t)=\begin{cases} e^{-\tfrac{t}{4}}, & -\pi \le t \le \pi,\\[4pt] \text{(estendida com período }2\pi\text{)}, & \text{caso contrário.} \end{cases}
O que se pede: determinar a representação em série de Fourier dessa função (ou seja, encontrar os coeficientes da série trigonométrica e escrever a série). As informações relevantes: intervalo fundamental [-\,\pi,\pi]\], a função no intervalo é \(e^{-t/4} e a série terá termos \cos(nt) e \sin(nt).]
Passo 2
Vamos usar a forma trigonométrica da série de Fourier para uma função 2\pi-periódica:
a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\,\pi}^{\pi} x(t)\cos(nt)\,dt para n\ge1.
b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\,\pi}^{\pi} x(t)\sin(nt)\,dt para n\ge1.
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \{1,\cos(nt),\sin(nt)\} no intervalo [-\,\pi,\pi]. Vamos calcular cada integral substituindo x(t)=e^{-t/4} no intervalo [-\,\pi,\pi].
Passo 3
Cálculo de a_0.\n
Primeiro a integral
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\,dt.
Uma primitiva de e^{-t/4} é -4e^{-t/4}, pois \dfrac{d}{dt}(-4e^{-t/4})=e^{-t/4}. Avaliando:
Com \alpha=-\tfrac{1}{4} temos e^{\alpha\pi}=e^{-\pi/4} e e^{-\alpha\pi}=e^{\pi/4}, portanto e^{\alpha\pi}-e^{-\alpha\pi}=-(e^{\pi/4}-e^{-\pi/4})=-2\operatorname{sinh}(\pi/4). Substituindo,
Escrevendo a série completa com os coeficientes encontrados:\n
Reunindo \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{4}{\pi}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr), a_n e b_n, a série de Fourier é