Série de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática usada para analisar funções periódicas complexas. Ela nos permite decompor essas funções em uma soma de componentes senoidais mais simples, com senos e cossenos. Essa representação é especialmente útil para entender e simplificar o comportamento de sinais periódicos em diversas áreas, como processamento de sinais, comunicações, acústica e engenharia elétrica. A ideia fundamental por trás da série de fourier é que qualquer função periódica pode ser expressa como uma combinação infinita dessas ondas senoidais. Essa decomposição nos ajuda a entender como diferentes frequências contribuem para a forma geral do sinal.
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático e físico frances, introduziu essa técnica no inficio do século XIX. Ele mostrou que funções complexas podem ser representadas como uma soma ponderada de senos e cossenos, permitindo-nos analisar e sintetizar sinais de maneira mais eficiente. Diante disso, determine as representações em série de Fourier para os sinais apresentados nos itens a seguir.
(C) x(t)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{t}{4}},-\pi \leq t \leq \pi \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á é chamado de sinal 2 \pi-periódico. Calcule sua representaçạo em série de Fourier

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2\pi\) definida por \[x(t)=\begin{cases} e^{-\tfrac{t}{4}}, & -\pi \le t \le \pi,\\[4pt] \text{(estendida com período }2\pi\text{)}, & \text{caso contrário.} \end{cases}
O que se pede: determinar a representação em série de Fourier dessa função (ou seja, encontrar os coeficientes da série trigonométrica e escrever a série). As informações relevantes: intervalo fundamental [-\,\pi,\pi]\], a função no intervalo é \(e^{-t/4} e a série terá termos \cos(nt) e \sin(nt).]

Passo 2

Vamos usar a forma trigonométrica da série de Fourier para uma função 2\pi-periódica:
x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr).
Aqui:
  • a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\,\pi}^{\pi} x(t)\,dt.
  • a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\,\pi}^{\pi} x(t)\cos(nt)\,dt para n\ge1.
  • b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\,\pi}^{\pi} x(t)\sin(nt)\,dt para n\ge1.
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \{1,\cos(nt),\sin(nt)\} no intervalo [-\,\pi,\pi]. Vamos calcular cada integral substituindo x(t)=e^{-t/4} no intervalo [-\,\pi,\pi].

Passo 3

Cálculo de a_0.\n
Primeiro a integral
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\,dt.
Uma primitiva de e^{-t/4} é -4e^{-t/4}, pois \dfrac{d}{dt}(-4e^{-t/4})=e^{-t/4}. Avaliando:
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\,dt = \bigl[-4e^{-t/4}\bigr]_{t=-\pi}^{t=\pi} = -4e^{-\pi/4} -\bigl(-4e^{\pi/4}\bigr) =4\bigl(e^{\pi/4}-e^{-\pi/4}\bigr).
Reconhecendo a função hiperbólica, temos e^{\pi/4}-e^{-\pi/4}=2\operatorname{sinh}(\pi/4). Portanto
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\,dt = 8\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 8\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{8}{\pi}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr),
e
\frac{a_0}{2}=\frac{4}{\pi}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1.\n
Usamos a integral
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\cos(nt)\,dt.
É útil usar a fórmula padrão (que pode ser derivada por integração por partes ou usando exponenciais complexas):
\int e^{\alpha t}\cos(nt)\,dt = \frac{e^{\alpha t}\bigl(\alpha\cos(nt)+n\sin(nt)\bigr)}{\alpha^2+n^2},
onde aqui \alpha=-\tfrac{1}{4}. Aplicando nos limites t=-\pi e t=\pi obtemos
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\cos(nt)\,dt = \left.\frac{e^{\alpha t}\bigl(\alpha\cos(nt)+n\sin(nt)\bigr)}{\alpha^2+n^2}\right|_{-\,\pi}^{\pi}.
Como \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n, as expressões nos limites tornam-se:
\frac{\alpha(-1)^n e^{\alpha\pi}}{\alpha^2+n^2} - \frac{\alpha(-1)^n e^{-\alpha\pi}}{\alpha^2+n^2} = \frac{\alpha(-1)^n\bigl(e^{\alpha\pi}-e^{-\alpha\pi}\bigr)}{\alpha^2+n^2}.
Com \alpha=-\tfrac{1}{4} temos e^{\alpha\pi}=e^{-\pi/4} e e^{-\alpha\pi}=e^{\pi/4}, portanto e^{\alpha\pi}-e^{-\alpha\pi}=-(e^{\pi/4}-e^{-\pi/4})=-2\operatorname{sinh}(\pi/4). Substituindo,
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\cos(nt)\,dt = \frac{\alpha(-1)^n\cdot\bigl(-2\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})\bigr)}{\alpha^2+n^2} = \frac{-2\alpha(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\alpha^2+n^2}.
Como \alpha=-\tfrac{1}{4}, temos -2\alpha = \tfrac{1}{2} e \alpha^2=\tfrac{1}{16}. Assim
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\cos(nt)\,dt = \frac{\tfrac{1}{2}(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{n^2+\tfrac{1}{16}}.
Dividindo por \pi para obter a_n,
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{n^2+\tfrac{1}{16}} =\frac{(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{2\pi\bigl(n^2+\tfrac{1}{16}\bigr)}.
Multiplicando numerador e denominador por 16 para ficar mais bonito:
a_n=\frac{8(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi\,(16n^2+1)}\qquad(n\ge1).

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1.\n
Usamos a fórmula padrão
\int e^{\alpha t}\sin(nt)\,dt = \frac{e^{\alpha t}\bigl(\alpha\sin(nt)-n\cos(nt)\bigr)}{\alpha^2+n^2}.
Avalia nos limites t=-\pi e t=\pi. Com \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n obtemos para \alpha=-\tfrac{1}{4}:
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\sin(nt)\,dt = \frac{-n(-1)^n e^{\alpha\pi}}{\alpha^2+n^2} - \frac{-n(-1)^n e^{-\alpha\pi}}{\alpha^2+n^2} = \frac{-n(-1)^n\bigl(e^{\alpha\pi}-e^{-\alpha\pi}\bigr)}{\alpha^2+n^2}.
Novamente e^{\alpha\pi}-e^{-\alpha\pi}=-2\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4}), então
\int_{-\,\pi}^{\pi} e^{-t/4}\sin(nt)\,dt = \frac{-n(-1)^n\bigl(-2\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})\bigr)}{\alpha^2+n^2} = \frac{2n(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{n^2+\tfrac{1}{16}}.
Dividindo por \pi,
b_n=\frac{2n(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi\bigl(n^2+\tfrac{1}{16}\bigr)}
e multiplicando numerador e denominador por 16 obtemos
b_n=\frac{32\,n(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi\,(16n^2+1)}\qquad(n\ge1).

Passo 6

Escrevendo a série completa com os coeficientes encontrados:\n
Reunindo \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{4}{\pi}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr), a_n e b_n, a série de Fourier é
x(t)=\frac{4}{\pi}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{8(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi(16n^2+1)}\cos(nt) +\frac{32\,n(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi(16n^2+1)}\sin(nt) \right].

Resposta

x(t)=\frac{4}{\pi}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{8(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi(16n^2+1)}\cos(nt) +\frac{32\,n(-1)^n\operatorname{sinh}(\tfrac{\pi}{4})}{\pi(16n^2+1)}\sin(nt) \right].

Exercícios relacionados