[16%] Para o sistema com realimentação unitária, determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau e para uma entrada em rampa quando a função de transferência em malha aberta é
Passo 1
O enunciado pede para, num sistema com realimentação unitária, determinar o erro em regime permanente para:
- uma entrada em degrau (amplitude unitária, isto é
); - uma entrada em rampa (velocidade unitária, isto é rampa de inclinação
).
As informações dadas são:
e a realimentação é unitária (feedback igual a
). Não foram dadas outras fontes nem elementos adicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação que nos interessa: o sinal de erro
em termos da entrada
e da função de transferência em malha aberta
para realimentação unitária.
Num sistema de realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
O erro em
-domínio é a diferença entre referência e saída:
Como
, temos a forma simples
Esta fórmula é central: para qualquer entrada
podemos obter
e, aplicando o Teorema do Valor Final, obter o erro em regime permanente.
Passo 3
Vou explicar o Teorema do Valor Final (TVF) que vamos usar para achar o erro em regime permanente: se
tiver limite quando
e
não tiver polos à direita do eixo imaginário, então
Na prática: obter
, multiplicar por
e calcular o limite quando
. Essa é a receita que vou aplicar para degrau e para rampa.
Também convém conhecer constantes de erro úteis (são atalhos que poupam álgebra): para realimentação unitária definimos
Para uma entrada degrau unitário
.
Para uma entrada rampa unitária (quando
); se
então o erro em regime permanente é infinito.
Para uma entrada rampa unitária
Vou usar tanto o TVF direto quanto essas constantes para ficar bem didático.
Passo 4
Calcular
(útil para o degrau). Aplicamos a definição:
Substituindo
no denominador:
Explicando:
é simplesmente o ganho estático de
quando
(isto corresponde ao ganho DC da planta). Aqui deu
.
Passo 5
Usar
para obter o erro em regime permanente para entrada degrau unitário. A fórmula direta é
Substituindo
:
Vou mostrar também rapidamente o caminho pelo TVF para você ver que dá o mesmo resultado: para degrau unitário
. Então
Pelo TVF,
o que confirma a fórmula e o valor calculado.
Passo 6
Agora a rampa. Primeiro calculemos
:
Quando
o numerador tende a
(porque tem fator
) enquanto o denominador tende a
, logo
Interpretando: a planta não tem integrador puro (não há fator
em
), portanto a constante de velocidade é zero — típica de sistemas de tipo 0.
Para rampa unitária
. Pelo TVF:
e
No limite
o denominador
tende a
(porque há o fator
multiplicando algo finito), portanto o limite diverge para
. Pela fórmula com
isso aparece como
Em palavras: para entrada rampa de inclinação
o erro em regime permanente é infinito — o sistema não consegue seguir uma rampa com erro finito (é um sistema de tipo 0).
Passo 7
Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
- Para realimentação unitária, escreva
e use o Teorema do Valor Final: . - Constantes úteis:
(degrau), (rampa). As fórmulas rápidas: - Verifique o tipo do sistema (número de polos em
) para prever se ou serão zero, finitos ou infinitos.