[16%] Para o sistema com realimentação unitária, determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau e para uma entrada em rampa quando a função de transferência em malha aberta é
G(s)=\frac{20}{s^{2}+14 s+50}

Passo 1

O enunciado pede para, num sistema com realimentação unitária, determinar o erro em regime permanente para:
  • uma entrada em degrau (amplitude unitária, isto é 1);
  • uma entrada em rampa (velocidade unitária, isto é rampa de inclinação 1).
As informações dadas são:
G(s)=\frac{20}{s^{2}+14 s+50}
e a realimentação é unitária (feedback igual a 1). Não foram dadas outras fontes nem elementos adicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação que nos interessa: o sinal de erro E(s) em termos da entrada R(s) e da função de transferência em malha aberta G(s) para realimentação unitária.
Num sistema de realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}.
O erro em s-domínio é a diferença entre referência e saída:
E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)-T(s)R(s)=R(s)\bigl(1-T(s)\bigr).
Como 1-T(s)=\dfrac{1}{1+G(s)}, temos a forma simples
E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.
Esta fórmula é central: para qualquer entrada R(s) podemos obter E(s) e, aplicando o Teorema do Valor Final, obter o erro em regime permanente.

Passo 3

Vou explicar o Teorema do Valor Final (TVF) que vamos usar para achar o erro em regime permanente: se e(t) tiver limite quando t\to\infty e sE(s) não tiver polos à direita do eixo imaginário, então
\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s).
Na prática: obter E(s), multiplicar por s e calcular o limite quando s\to 0. Essa é a receita que vou aplicar para degrau e para rampa.
Também convém conhecer constantes de erro úteis (são atalhos que poupam álgebra): para realimentação unitária definimos
K_p=\lim_{s\to 0} G(s),\qquad K_v=\lim_{s\to 0} sG(s).
Para uma entrada degrau unitário e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}.
Para uma entrada rampa unitária e_{ss}=\dfrac{1}{K_v} (quando K_v>0); se K_v=0 então o erro em regime permanente é infinito.
Vou usar tanto o TVF direto quanto essas constantes para ficar bem didático.

Passo 4

Calcular K_p (útil para o degrau). Aplicamos a definição:
K_p=\lim_{s\to 0} G(s)=\lim_{s\to 0}\frac{20}{s^{2}+14s+50}.
Substituindo s=0 no denominador:
K_p=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}=0{,}4.
Explicando: K_p é simplesmente o ganho estático de G(s) quando s\to 0 (isto corresponde ao ganho DC da planta). Aqui deu 0{,}4.

Passo 5

Usar K_p para obter o erro em regime permanente para entrada degrau unitário. A fórmula direta é
e_{ss,\text{degrau}}=\frac{1}{1+K_p}.
Substituindo K_p=0{,}4:
e_{ss,\text{degrau}}=\frac{1}{1+0{,}4}=\frac{1}{1{,}4}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\approx 0{,}7142857.
Vou mostrar também rapidamente o caminho pelo TVF para você ver que dá o mesmo resultado: para degrau unitário R(s)=\dfrac{1}{s}. Então
E(s)=\frac{1/s}{1+G(s)}=\frac{1}{s(1+G(s))}.
Pelo TVF,
e_{ss}=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+G(s)}=\frac{1}{1+K_p},
o que confirma a fórmula e o valor calculado.

Passo 6

Agora a rampa. Primeiro calculemos K_v:
K_v=\lim_{s\to 0} sG(s)=\lim_{s\to 0} s\cdot\frac{20}{s^{2}+14s+50}.
Quando s\to 0 o numerador tende a 0 (porque tem fator s) enquanto o denominador tende a 50, logo
K_v=0.
Interpretando: a planta não tem integrador puro (não há fator 1/s em G(s)), portanto a constante de velocidade é zero — típica de sistemas de tipo 0.
Para rampa unitária R(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. Pelo TVF:
E(s)=\frac{1/s^{2}}{1+G(s)}=\frac{1}{s^{2}(1+G(s))},
e
e_{ss}=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0}\frac{1}{s(1+G(s))}.
No limite s\to 0 o denominador s(1+G(s)) tende a 0 (porque há o fator s multiplicando algo finito), portanto o limite diverge para +\infty. Pela fórmula com K_v isso aparece como
e_{ss,\text{rampa}}=\frac{1}{K_v}=\frac{1}{0}=+\infty.
Em palavras: para entrada rampa de inclinação 1 o erro em regime permanente é infinito — o sistema não consegue seguir uma rampa com erro finito (é um sistema de tipo 0).

Passo 7

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Para realimentação unitária, escreva E(s)=\dfrac{R(s)}{1+G(s)} e use o Teorema do Valor Final: e_{ss}=\lim_{s\to 0} sE(s).
  • Constantes úteis: K_p=\lim_{s\to 0}G(s) (degrau), K_v=\lim_{s\to 0}sG(s) (rampa). As fórmulas rápidas: e_{ss,\text{degrau}}=\frac{1}{1+K_p},\qquad e_{ss,\text{rampa}}=\frac{1}{K_v}.
  • Verifique o tipo do sistema (número de polos em s=0) para prever se K_v ou K_p serão zero, finitos ou infinitos.

Resposta

e_{ss,\text{degrau}}=\dfrac{5}{7}\approx 0{,}7142857
e_{ss,\text{rampa}}=+\infty

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