(20 pontos) Considere os pontos A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(3,1,0) e D=(0,2,2).
(a) Mostre analiticamente que os pontos A, B, C e D não são coplanares.
(b) Calcule o volume do tetraedro A B C D.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço:
A=(1,1,1),\qquad B=(2,0,3),\qquad C=(3,1,0),\qquad D=(0,2,2).
As perguntas são:
(a) mostrar analiticamente que os pontos A,B,C,D não são coplanares;
(b) calcular o volume do tetraedro ABCD.

Passo 2

Escolha de um método (por que usar este método).
Uma maneira direta e clássica para verificar coplanaridade é usar vetores que partem de um mesmo vértice (por exemplo de A) e calcular o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois outros). Explico a ideia simples: se os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} forem linearmente independentes (produto misto não nulo) então eles não ficam todos no mesmo plano, logo os quatro pontos não são coplanares. Além disso, o módulo do produto misto dá o volume do paralelepípedo definido por esses vetores; o volume do tetraedro é uma fração desse valor. Então vamos construir os vetores e aplicar esse método.

Passo 3

Construção dos vetores a partir de A. Subtrai-se coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;0-1,\;3-1)=(1,-1,2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,\;1-1,\;0-1)=(2,0,-1),
\overrightarrow{AD}=D-A=(0-1,\;2-1,\;2-1)=(-1,1,1).
Vou usar o produto misto \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}). Se esse número for diferente de zero, os vetores não são coplanares e portanto os quatro pontos também não são.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}. Uso a fórmula determinantal:
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo componente a componente:
\text{componente } \mathbf{i}: 0\cdot1-(-1)\cdot1 = 0+1=1,
\text{componente } \mathbf{j}: 2\cdot1-(-1)\cdot(-1)=2-1=1\quad\text{(e lembre o sinal negativo na segunda componente)},
\text{componente } \mathbf{k}: 2\cdot1-0\cdot(-1)=2-0=2.
Portanto
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(1,-1,2).
(Observação: deu exatamente igual a \overrightarrow{AB}. Isso às vezes acontece; é bom notar.)

Passo 5

Calcular o produto misto \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}). Como \overrightarrow{AB}=(1,-1,2) e \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(1,-1,2), temos
\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=1\cdot1+(-1)\cdot(-1)+2\cdot2=1+1+4=6.

Passo 6

Interpretação do resultado para a parte (a). O produto misto vale \,6\neq0. Quando o produto misto de três vetores que partem de um mesmo ponto é diferente de zero, esses vetores são linearmente independentes e não estão contidos num mesmo plano. Logo os pontos A,B,C,D não são coplanares. Assim respondemos (a).

Passo 7

Relação com o volume para a parte (b). O módulo do produto misto |\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})| é o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores. O volume V_{tet} do tetraedro formado pelos quatro pontos (com três arestas partindo de A) é igual a um sexto desse volume, porque um paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes. Portanto
V_{tet}=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\right|.

Passo 8

Aplicando a fórmula com o valor obtido:
V_{tet}=\frac{1}{6}\left|6\right|=\frac{6}{6}.

Resposta

(a) Os pontos A,B,C,D não são coplanares.
(b) V_{ABCD}=1.

Exercícios relacionados