(20 pontos) Considere os pontos A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(3,1,0) e D=(0,2,2).
(a) Mostre analiticamente que os pontos A, B, C e D não são coplanares.
(b) Calcule o volume do tetraedro A B C D.
As perguntas são:
(a) mostrar analiticamente que os pontos A,B,C,D não são coplanares;
(b) calcular o volume do tetraedro ABCD.
Passo 2
Escolha de um método (por que usar este método).
Uma maneira direta e clássica para verificar coplanaridade é usar vetores que partem de um mesmo vértice (por exemplo de A) e calcular o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois outros). Explico a ideia simples: se os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} forem linearmente independentes (produto misto não nulo) então eles não ficam todos no mesmo plano, logo os quatro pontos não são coplanares. Além disso, o módulo do produto misto dá o volume do paralelepípedo definido por esses vetores; o volume do tetraedro é uma fração desse valor. Então vamos construir os vetores e aplicar esse método.
Passo 3
Construção dos vetores a partir de A. Subtrai-se coordenada a coordenada:
Vou usar o produto misto \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}). Se esse número for diferente de zero, os vetores não são coplanares e portanto os quatro pontos também não são.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}. Uso a fórmula determinantal:
(Observação: deu exatamente igual a \overrightarrow{AB}. Isso às vezes acontece; é bom notar.)
Passo 5
Calcular o produto misto \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}). Como \overrightarrow{AB}=(1,-1,2) e \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(1,-1,2), temos
Interpretação do resultado para a parte (a). O produto misto vale \,6\neq0. Quando o produto misto de três vetores que partem de um mesmo ponto é diferente de zero, esses vetores são linearmente independentes e não estão contidos num mesmo plano. Logo os pontos A,B,C,D não são coplanares. Assim respondemos (a).
Passo 7
Relação com o volume para a parte (b). O módulo do produto misto |\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})| é o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores. O volume V_{tet} do tetraedro formado pelos quatro pontos (com três arestas partindo de A) é igual a um sexto desse volume, porque um paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes. Portanto