Mostre que a reflexão R em \mathbb{R}^{3} através do plano de equação " x+y+z=0 " é linear e encontre sua matriz na base canônica.

Passo 1

O que o problema pede e o que ele nos dá.
  • Pede-se para mostrar que a reflexão R em \mathbb{R}^{3} através do plano de equação x+y+z=0 é uma transformação linear.
  • Pede-se também a matriz de R na base canônica de \mathbb{R}^{3}.
  • Informação fornecida: o plano tem equação x+y+z=0. A partir desta equação sabemos que um vetor normal ao plano é (1,1,1).

Passo 2

Ideia geométrica e derivação da fórmula da reflexão.
  • Geometricamente, dado um vetor v\in\mathbb{R}^{3}, é útil decompor v em duas partes: a componente paralela ao plano e a componente ortogonal ao plano. Se u é um vetor unitário normal ao plano, então a projeção de v sobre a direção u é \mathrm{proj}_u v=(v\cdot u)\,u. Aqui \cdot é o produto escalar e (v\cdot u) é um número (escala).
  • A componente de v paralela ao plano é v_{\parallel}=v-(v\cdot u)u. A componente ortogonal (na direção do normal) é v_{\perp}=(v\cdot u)u.
  • Refletir v no plano significa manter v_{\parallel} igual e inverter v_{\perp}. Logo a imagem de v pela reflexão é
R(v)=v_{\parallel}-v_{\perp}= \bigl(v-(v\cdot u)u\bigr)- (v\cdot u)u = v - 2(v\cdot u)u.
  • Portanto a fórmula geral é \;R(v)=v-2(v\cdot u)u.

Passo 3

Por que essa fórmula mostra linearidade.
  • Escrevendo R(v)=v-2(u u^{T})v (pois (v\cdot u)u=(u u^{T})v), vemos que R é dada por multiplicação por uma matriz fixa: R=(I-2u u^{T}).
  • Multiplicação por uma matriz é uma aplicação linear, logo R é linear. Alternativamente, para quaisquer escalares a,b e vetores v,w temos
R(av + bw)=av+bw -2\bigl((av+bw)\cdot u\bigr)u = aR(v)+bR(w),
confirmando a linearidade diretamente.

Passo 4

Encontrar o vetor normal unitário u.
  • Da equação x+y+z=0 extraímos o vetor normal (não necessariamente unitário) N=(1,1,1).
  • O comprimento (norma) de N é \|N\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
  • O vetor normal unitário é
u=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 5

Calcular a matriz de projeção P=uu^{T}.
  • Escrevendo u=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, a matriz P=uu^{T} é
P=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Observação: P tem todos os elementos iguais a \dfrac{1}{3}. Esta é a matriz que envia qualquer vetor para sua componente na direção (1,1,1).]

Passo 6

Calcular a matriz da reflexão R=I-2P.
  • Usando R=I-2uu^{T}=I-2P obtemos
R = I - \frac{2}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Subtraindo termo a termo, os elementos da diagonal ficam 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} e os elementos fora da diagonal ficam -\dfrac{2}{3}. Assim
R=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt] -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt] -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida usando os vetores da base canônica.
  • Aplicando a fórmula R(e_{1})=e_{1}-\dfrac{2}{3}(1,1,1) chega-se a R(e_{1})=\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr), que é a primeira coluna da matriz acima. O mesmo vale para e_{2} e e_{3}. Isso confirma que a matriz encontrada é a matriz de R na base canônica.

Resposta

\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt] -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt] -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados