Mostre que a reflexão R em \mathbb{R}^{3} através do plano de equação " x+y+z=0 " é linear e encontre sua matriz na base canônica.
Passo 1
O que o problema pede e o que ele nos dá.
Pede-se para mostrar que a reflexão R em \mathbb{R}^{3} através do plano de equação x+y+z=0 é uma transformação linear.
Pede-se também a matriz de R na base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Informação fornecida: o plano tem equação x+y+z=0. A partir desta equação sabemos que um vetor normal ao plano é (1,1,1).
Passo 2
Ideia geométrica e derivação da fórmula da reflexão.
Geometricamente, dado um vetor v\in\mathbb{R}^{3}, é útil decompor v em duas partes: a componente paralela ao plano e a componente ortogonal ao plano. Se u é um vetor unitário normal ao plano, então a projeção de v sobre a direção u é \mathrm{proj}_u v=(v\cdot u)\,u. Aqui \cdot é o produto escalar e (v\cdot u) é um número (escala).
A componente de v paralela ao plano é v_{\parallel}=v-(v\cdot u)u. A componente ortogonal (na direção do normal) é v_{\perp}=(v\cdot u)u.
Refletir v no plano significa manter v_{\parallel} igual e inverter v_{\perp}. Logo a imagem de v pela reflexão é
R(v)=v_{\parallel}-v_{\perp}= \bigl(v-(v\cdot u)u\bigr)- (v\cdot u)u = v - 2(v\cdot u)u.
Portanto a fórmula geral é \;R(v)=v-2(v\cdot u)u.
Passo 3
Por que essa fórmula mostra linearidade.
Escrevendo R(v)=v-2(u u^{T})v (pois (v\cdot u)u=(u u^{T})v), vemos que R é dada por multiplicação por uma matriz fixa: R=(I-2u u^{T}).
Multiplicação por uma matriz é uma aplicação linear, logo R é linear. Alternativamente, para quaisquer escalares a,b e vetores v,w temos
Verificação rápida usando os vetores da base canônica.
Aplicando a fórmula R(e_{1})=e_{1}-\dfrac{2}{3}(1,1,1) chega-se a R(e_{1})=\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr), que é a primeira coluna da matriz acima. O mesmo vale para e_{2} e e_{3}. Isso confirma que a matriz encontrada é a matriz de R na base canônica.