(20 pontos) Seja (
) um grupo, onde:
Verifique se
é subgrupo de
).
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema! Temos o grupo
onde a operação
é a adição componente a componente. Queremos verificar se o conjunto
é um subgrupo desse grupo maior. Para isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subgrupo. Um subconjunto
de um grupo
é chamado de subgrupo se:
- A possui o elemento neutro: Existe um elemento em
que, quando operado com qualquer outro elemento de , não altera esse outro elemento. - A é fechado sob a operação do grupo: Se você pegar dois elementos quaisquer de
e operar entre eles, o resultado também deve estar em . - A é fechado sob inversos: Para todo elemento em
, seu inverso (em relação à operação do grupo) também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando o elemento neutro:
No grupo
, o elemento neutro é o vetor
. Vamos ver se este vetor está em
.
Para isso, basta encontrar um valor de
que satisfaça:
Resolvendo:
Portanto, quando
, obtemos
. Logo,
contém o elemento neutro.
Passo 4
2. Verificando a fechadura sob a operação:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
Onde
.
Operando
e
:
Note que o resultado é da forma
onde
. Como
, o vetor resultante está em
. Portanto,
é fechado sob a operação.
Passo 5
3. Verificando a fechadura sob inversos:
Vamos pegar um elemento qualquer de
:
Queremos encontrar seu inverso
tal que:
O inverso em grupos abelianos com operação de adição é simplesmente o negativo do vetor:
Vamos verificar se
. Precisamos que exista um
tal que:
Comparando componentes:
Tudo confere! Portanto,
. Assim,
é fechado sob inversos.
Resposta
Como o conjunto
contém o elemento neutro, é fechado sob a operação e sob a formação de inversos, concluímos que
é de fato um subgrupo de
.