*1.20. A prensa manual de metal está submetida a uma força de 120 N na extremidade do cabo. Determinar a
intensidade da força de reação no pino A e no elo B C. Determinar também a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto D do cabo.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar a intensidade da força de reação no pino A.
  • Determinar a intensidade da força no elo B C.
  • Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto D do cabo.
Informação fornecida explicitamente pelo enunciado:
  • Uma força externa aplicada de intensidade \,120\\ \text{N}\, na extremidade do cabo.
Informações que o enunciado deveria apresentar (mas não foram fornecidas aqui):
  • A figura/diagrama que mostra como o cabo, o pino A e o elo B C estão conectados (posições relativas, direções dos elementos).
  • Coordenadas ou distâncias (braços de alavanca) entre pontos de aplicação das forças e pontos A, B, C, D.
  • Ângulos ou direção do cabo e do elo B C.
Observação importante: como o problema depende da geometria do sistema (direções e distâncias), sem a figura ou dados geométricos não é possível obter valores numéricos únicos para as reações pedidas. A seguir eu explico passo a passo o método correto — isto é, como você deve proceder quando tiver a figura — e mostro fórmulas e um exemplo ilustrativo hipotético para você praticar.

Passo 2

Plano de ataque geral (o que você fará quando tiver a figura completa):
  1. Desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) do conjunto (ou do membro que interessa), mostrando todas as forças externas: a força de 120\\ \text{N} na extremidade do cabo, a reação no pino A (duas componentes) e a força no elo B C (normalmente um membro de dois esforços, atuando ao longo do seu eixo).
  2. Escrever as equações de equilíbrio estático no plano (porque parece ser um problema plano): \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.
  3. Usar a equação de momentos para eliminar as reações do pino (quando conveniente) e encontrar a intensidade do elo B C.
  4. Substituir na equação resultante de forças para obter as componentes da reação em A.
  5. Para a seção em D, fazer um corte e aplicar equilíbrio ao segmento cortado para obter o resultado interno (força axiais, cortante e momento, conforme o caso).
Vou agora detalhar cada um desses passos de forma didática, mostrando as fórmulas e explicando cada termo.

Passo 3

Modelagem das reações e incógnitas (como colocar as incógnitas no DCL)
  • Reação no pino A: um pino plano impede translação nas direções x e y, logo representa-se por duas componentes \,A_x e \,A_y.
  • Força no elo B C: se o elo for um membro engastado por pinos em B e C (membro de dois esforços), então a força no elo atua ao longo da linha do elo, isto é, é uma força colinear ao eixo BC. Denotamos sua intensidade escalar por T (pode ser tração ou compressão). O vetor da força é \mathbf{T} = T\,\mathbf{u}_{BC},onde \mathbf{u}_{BC} é o vetor unitário na direção de BC. Seja \mathbf{F} a força externa aplicada (no enunciado \|\mathbf{F}\|=120\\ \text{N}).
  • Equilíbrio vetorial do corpo (somando todas as forças externas que agem no corpo em equilíbrio): \mathbf{A} + \mathbf{T} + \mathbf{F} = \mathbf{0},isto é, em componentes: A_x + T\,u_{BC,x} + F_x = 0,
A_y + T\,u_{BC,y} + F_y = 0.
Explicação das notações:
  • \mathbf{A}=(A_x,A_y) é o vetor reação em A.
  • T é a magnitude (escala) da força no elo BC.
  • \mathbf{u}_{BC}=(u_{BC,x},u_{BC,y}) é o vetor unitário paralelo ao elo BC. Para obter \mathbf{u}_{BC} você precisa das coordenadas dos pontos B e C: se B=(x_B,y_B) e C=(x_C,y_C), então \mathbf{u}_{BC}=\frac{1}{\ell_{BC}}\bigl(x_C-x_B,\;y_C-y_B\bigr)com \ell_{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}.

Passo 4

Uso da equação de momentos para encontrar T
  • A equação de momentos é útil para eliminar as duas incógnitas A_x,A_y de uma só vez (porque a reação em A gera momento nulo em torno de A). Tomando momentos em torno de A obtemos uma equação só com T e a força externa \mathbf{F}: \sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}_F\times\mathbf{F} + \mathbf{r}_T\times\mathbf{T} = 0.
  • Aqui:
    • \mathbf{r}_F é o vetor posição do ponto de aplicação de \mathbf{F} em relação a A.
    • \mathbf{r}_T é o vetor posição da linha de ação da força \mathbf{T} (por exemplo, posição do ponto B ou outro ponto onde o elo atua) em relação a A.
    • Em 2D, o produto vetorial resulta num escalar perpendicular ao plano; calculamos o momento escalar como \mathbf{r}\times\mathbf{F} = x_r F_y - y_r F_x.
  • Substituindo \mathbf{T}=T\,\mathbf{u}_{BC} obtemos uma equação linear em T: \mathbf{r}_F\times\mathbf{F} + T\bigl(\mathbf{r}_T\times\mathbf{u}_{BC}\bigr) = 0.Portanto T = -\,\dfrac{\mathbf{r}_F\times\mathbf{F}}{\mathbf{r}_T\times\mathbf{u}_{BC}}.
  • Observações importantes:
    • O sinal de T indica se o elo está em tração ( T>0) ou compressão ( T<0), dependendo da orientação escolhida para \mathbf{u}_{BC}.
    • Para calcular o numerador e o denominador você precisa dos vetores posição e do vetor unitário \mathbf{u}_{BC}: sem a figura ou coordenadas essas grandezas são desconhecidas.

Passo 5

Determinar as componentes da reação em A depois de achar T
  • Uma vez conhecido T, use as equações de equilíbrio de forças em x e y para obter A_x e A_y: A_x = -\bigl(F_x + T\,u_{BC,x}\bigr),
A_y = -\bigl(F_y + T\,u_{BC,y}\bigr).
  • Explicando: a soma vetorial das forças externas deve ser zero, então a reação em A é o vetor que fecha o polígono das forças: \mathbf{A}= -(\mathbf{F}+\mathbf{T}).

Passo 6

Como obter a resultante das cargas internas na seção que passa por D
  • Procedimento: cortar o corpo ao longo da seção que passa por D e isolar um dos segmentos; as forças internas na seção (resultante interna) devem equilibrar todas as forças externas aplicadas ao segmento isolado.
  • Se o cabo for idealizado como um cabo/membro de tração puro (sem rigidez à flexão), a resultante interna na seção é tipicamente uma força axial (tensão) de intensidade igual à tensão no cabo naquele ponto, e dirigida ao longo do eixo do cabo. Assim, para um corte no cabo: \mathbf{R}_D = T\,\mathbf{u}_{\text{cabo}}.Onde \mathbf{u}_{\text{cabo}} é o vetor unitário ao longo do cabo no ponto D. O sinal e o sentido dependem de qual segmento você isolou (feche o arbitrário com o sinal apropriado).
  • Se o elemento tiver também componentes estruturais que gerem cortante ou momento na seção (por exemplo, se não for um cabo ideal, mas uma barra rígida ligada com outros elementos), então a resultante interna na seção tem componentes: \mathbf{R}_D = N\,\mathbf{u}_{\text{eixo}} + \mathbf{V} \quad\text{e}\quad M_Donde N é força normal (axial), \mathbf{V} é o(s) cortante(s) e M_D é o momento fletor. Mas para um cabo simples a parte mais relevante é N=T.

Passo 7

Resumo prático — lista de passos que você deve executar quando tiver a figura e as dimensões
  1. Identifique e desenhe todos os pontos A,B,C,D com coordenadas ou medidas dadas.
  2. Calcule o vetor unitário \mathbf{u}_{BC} a partir de B e C.
  3. Monte o DCL com \mathbf{F} (dado: 120\\ \text{N}), \mathbf{T}=T\mathbf{u}_{BC} e \mathbf{A}=(A_x,A_y).
  4. Escreva \sum M_A = 0 e resolva para T usando T = -\,\dfrac{\mathbf{r}_F\times\mathbf{F}}{\mathbf{r}_T\times\mathbf{u}_{BC}}.
  5. Calcule A_x e A_y pelas equações \sum F_x=0 e \sum F_y=0.
  6. Para a seção em D, isole o segmento e some as forças externas daquele segmento; a resultante interna será o vetor que equilibra essas forças (em um cabo simples, igual à tensão local T ao longo do eixo do cabo).

Passo 8

Exemplo ilustrativo (hipotético) — para ver como as fórmulas funcionam na prática
Atenção: este exemplo NÃO é a solução do seu enunciado original (porque não temos a figura). É um caso hipotético para treinar.
Hipótese: suponha que A esteja na origem A=(0,0), a força \mathbf{F} de 120\\ \text{N} esteja aplicada na extremidade do cabo em P=(2,0) e atuando vertical para baixo (isto é, \mathbf{F}=(0,-120)). Suponha que o elo BC seja uma barra cuja linha de ação passa por B=(0,1) e tem direção até C=(1,2). Então:
  • Primeiro calcule \mathbf{u}_{BC}. O vetor BC=(1,1), comprimento \ell_{BC}=\sqrt{2}, logo \mathbf{u}_{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
  • Calcule o momento da força \mathbf{F} em relação a A: \mathbf{r}_F=(2,0)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}_F\times\mathbf{F}=2\cdot(-120)-0\cdot 0 = -240\\ \text{N}\cdot\text{m}.(No sinal: negativa indica sentido do momento.)
  • Escolhemos o ponto de aplicação de T como B=(0,1), então \mathbf{r}_T=(0,1). O momento escalar de \mathbf{u}_{BC} em relação a A é \mathbf{r}_T\times\mathbf{u}_{BC} = 0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} - 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Usando a fórmula para T: T = -\,\dfrac{-240}{-\tfrac{1}{\sqrt{2}}} = -\,\dfrac{-240}{-\tfrac{1}{\sqrt{2}}} = -\,\frac{-240\sqrt{2}}{-1} = -240\sqrt{2}.Logo T\approx -339,4\\ \text{N}. O sinal negativo indica que, com a escolha de \mathbf{u}_{BC} feita, o elo estaria em compressão (interpretação dependente do sentido do vetor unitário).
  • Em seguida calcule A_x,A_y por A_x = -\bigl(F_x + T u_{BC,x}\bigr) = -\bigl(0 + T\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = -\bigl(T/\sqrt{2}\bigr),
A_y = -\bigl(F_y + T u_{BC,y}\bigr) = -\bigl(-120 + T\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Substituindo T\approx -339{,}4\\ \text{N} dá números concretos (faça as contas com calma na prova).
  • A resultante interna na seção D do cabo, se o cabo for ideal de tração, será \mathbf{R}_D=T\,\mathbf{u}_{\text{cabo}}. No nosso exemplo, isto dá uma força de magnitude \approx 339{,}4\\ \text{N} ao longo do eixo (com sinal indicando compressão na orientação escolhida).
Este exemplo serve só para ilustrar a sequência de cálculo: encontrar \mathbf{u}_{BC}, usar momento sobre A para obter T, depois forças para A_x,A_y, e finalmente usar o corte para obter a resultante interna em D.

Passo 9

Dicas de prova e atenção a detalhes:
  • Sempre desenhe o DCL com atenção aos sentidos escolhidos (positivos para A_x,A_y e para T); o sinal do resultado vai indicar se sua suposição inicial era tração/compressão ou sentido positivo/negativo.
  • Use o momento sobre um ponto conveniente (normalmente o pino A) para eliminar as duas componentes e obter diretamente T.
  • Cuidado ao calcular produtos vetoriais 2D: lembre-se da fórmula escalar xF_y - yF_x.
  • Se houver incerteza sobre qual ponto da barra representa a linha de ação de T, escolha um ponto claramente dado na figura (como B) e use seu vetor posição em relação a A.
  • Se na figura o elo BC tiver conexões que geram reações adicionais, adapte o modelo (por exemplo, se BC está preso a outros elementos, pode não ser membro de dois esforços simples).

Resposta

Não é possível determinar numericamente as intensidades das reações em A e no elo B C nem a resultante na seção em D porque a figura (geometria, direções e distâncias entre A,B,C,D e o ponto de aplicação da força de 120\\ \text{N}) não foi fornecida.

Exercícios relacionados