*1.20. A prensa manual de metal está submetida a uma força de 120 N na extremidade do cabo. Determinar a
intensidade da força de reação no pino
e no elo
. Determinar também a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto
do cabo.
intensidade da força de reação no pino
Passo 1
O enunciado pede:
- Determinar a intensidade da força de reação no pino
. - Determinar a intensidade da força no elo
. - Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto
do cabo.
Informação fornecida explicitamente pelo enunciado:
- Uma força externa aplicada de intensidade
na extremidade do cabo.
Informações que o enunciado deveria apresentar (mas não foram fornecidas aqui):
- A figura/diagrama que mostra como o cabo, o pino
e o elo estão conectados (posições relativas, direções dos elementos). - Coordenadas ou distâncias (braços de alavanca) entre pontos de aplicação das forças e pontos
, , , . - Ângulos ou direção do cabo e do elo
.
Observação importante: como o problema depende da geometria do sistema (direções e distâncias), sem a figura ou dados geométricos não é possível obter valores numéricos únicos para as reações pedidas. A seguir eu explico passo a passo o método correto — isto é, como você deve proceder quando tiver a figura — e mostro fórmulas e um exemplo ilustrativo hipotético para você praticar.
Passo 2
Plano de ataque geral (o que você fará quando tiver a figura completa):
- Desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) do conjunto (ou do membro que interessa), mostrando todas as forças externas: a força de
na extremidade do cabo, a reação no pino (duas componentes) e a força no elo (normalmente um membro de dois esforços, atuando ao longo do seu eixo). - Escrever as equações de equilíbrio estático no plano (porque parece ser um problema plano):
- Usar a equação de momentos para eliminar as reações do pino (quando conveniente) e encontrar a intensidade do elo
. - Substituir na equação resultante de forças para obter as componentes da reação em
. - Para a seção em
, fazer um corte e aplicar equilíbrio ao segmento cortado para obter o resultado interno (força axiais, cortante e momento, conforme o caso).
Vou agora detalhar cada um desses passos de forma didática, mostrando as fórmulas e explicando cada termo.
Passo 3
Modelagem das reações e incógnitas (como colocar as incógnitas no DCL)
- Reação no pino
: um pino plano impede translação nas direções e , logo representa-se por duas componentes e . - Força no elo
: se o elo for um membro engastado por pinos em B e C (membro de dois esforços), então a força no elo atua ao longo da linha do elo, isto é, é uma força colinear ao eixo . Denotamos sua intensidade escalar por (pode ser tração ou compressão). O vetor da força é onde é o vetor unitário na direção de . Seja a força externa aplicada (no enunciado ). - Equilíbrio vetorial do corpo (somando todas as forças externas que agem no corpo em equilíbrio):
isto é, em componentes:
Explicação das notações:
-
é o vetor reação em . -
é a magnitude (escala) da força no elo . -
é o vetor unitário paralelo ao elo . Para obter você precisa das coordenadas dos pontos e : se e , então com .
Passo 4
Uso da equação de momentos para encontrar
- A equação de momentos é útil para eliminar as duas incógnitas
de uma só vez (porque a reação em gera momento nulo em torno de ). Tomando momentos em torno de obtemos uma equação só com e a força externa : - Aqui:
-
é o vetor posição do ponto de aplicação de em relação a . -
é o vetor posição da linha de ação da força (por exemplo, posição do ponto ou outro ponto onde o elo atua) em relação a . - Em 2D, o produto vetorial resulta num escalar perpendicular ao plano; calculamos o momento escalar como
-
- Substituindo
obtemos uma equação linear em : Portanto - Observações importantes:
- O sinal de
indica se o elo está em tração ( ) ou compressão ( ), dependendo da orientação escolhida para . - Para calcular o numerador e o denominador você precisa dos vetores posição e do vetor unitário
: sem a figura ou coordenadas essas grandezas são desconhecidas.
- O sinal de
Passo 5
Determinar as componentes da reação em
depois de achar
- Uma vez conhecido
, use as equações de equilíbrio de forças em e para obter e :
- Explicando: a soma vetorial das forças externas deve ser zero, então a reação em
é o vetor que fecha o polígono das forças: .
Passo 6
Como obter a resultante das cargas internas na seção que passa por
- Procedimento: cortar o corpo ao longo da seção que passa por
e isolar um dos segmentos; as forças internas na seção (resultante interna) devem equilibrar todas as forças externas aplicadas ao segmento isolado. - Se o cabo for idealizado como um cabo/membro de tração puro (sem rigidez à flexão), a resultante interna na seção é tipicamente uma força axial (tensão) de intensidade igual à tensão no cabo naquele ponto, e dirigida ao longo do eixo do cabo. Assim, para um corte no cabo:
Onde é o vetor unitário ao longo do cabo no ponto . O sinal e o sentido dependem de qual segmento você isolou (feche o arbitrário com o sinal apropriado). - Se o elemento tiver também componentes estruturais que gerem cortante ou momento na seção (por exemplo, se não for um cabo ideal, mas uma barra rígida ligada com outros elementos), então a resultante interna na seção tem componentes:
onde é força normal (axial), é o(s) cortante(s) e é o momento fletor. Mas para um cabo simples a parte mais relevante é .
Passo 7
Resumo prático — lista de passos que você deve executar quando tiver a figura e as dimensões
- Identifique e desenhe todos os pontos
com coordenadas ou medidas dadas. - Calcule o vetor unitário
a partir de e . - Monte o DCL com
(dado: ), e . - Escreva
e resolva para usando - Calcule
e pelas equações e . - Para a seção em
, isole o segmento e some as forças externas daquele segmento; a resultante interna será o vetor que equilibra essas forças (em um cabo simples, igual à tensão local ao longo do eixo do cabo).
Passo 8
Exemplo ilustrativo (hipotético) — para ver como as fórmulas funcionam na prática
Atenção: este exemplo NÃO é a solução do seu enunciado original (porque não temos a figura). É um caso hipotético para treinar.
Atenção: este exemplo NÃO é a solução do seu enunciado original (porque não temos a figura). É um caso hipotético para treinar.
Hipótese: suponha que
esteja na origem
, a força
de
esteja aplicada na extremidade do cabo em
e atuando vertical para baixo (isto é,
). Suponha que o elo
seja uma barra cuja linha de ação passa por
e tem direção até
. Então:
- Primeiro calcule
. O vetor , comprimento , logo - Calcule o momento da força
em relação a : (No sinal: negativa indica sentido do momento.) - Escolhemos o ponto de aplicação de
como , então . O momento escalar de em relação a é - Usando a fórmula para
: Logo . O sinal negativo indica que, com a escolha de feita, o elo estaria em compressão (interpretação dependente do sentido do vetor unitário). - Em seguida calcule
por
Substituindo
dá números concretos (faça as contas com calma na prova).
- A resultante interna na seção
do cabo, se o cabo for ideal de tração, será . No nosso exemplo, isto dá uma força de magnitude ao longo do eixo (com sinal indicando compressão na orientação escolhida).
Este exemplo serve só para ilustrar a sequência de cálculo: encontrar
, usar momento sobre
para obter
, depois forças para
, e finalmente usar o corte para obter a resultante interna em
.
Passo 9
Dicas de prova e atenção a detalhes:
- Sempre desenhe o DCL com atenção aos sentidos escolhidos (positivos para
e para ); o sinal do resultado vai indicar se sua suposição inicial era tração/compressão ou sentido positivo/negativo. - Use o momento sobre um ponto conveniente (normalmente o pino
) para eliminar as duas componentes e obter diretamente . - Cuidado ao calcular produtos vetoriais 2D: lembre-se da fórmula escalar
. - Se houver incerteza sobre qual ponto da barra representa a linha de ação de
, escolha um ponto claramente dado na figura (como ) e use seu vetor posição em relação a . - Se na figura o elo
tiver conexões que geram reações adicionais, adapte o modelo (por exemplo, se está preso a outros elementos, pode não ser membro de dois esforços simples).
Resposta
Não é possível determinar numericamente as intensidades das reações em
e no elo
nem a resultante na seção em
porque a figura (geometria, direções e distâncias entre
e o ponto de aplicação da força de
) não foi fornecida.