20 { }^{\text {a }} Questão: Resolva a seguinte equação Integral
\int_{0}^{t} \frac{y(x)}{\sqrt{t-x}} d x=1+t+t^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral de Volterra de primeira espécie
\int_{0}^{t}\frac{y(x)}{\sqrt{t - x}}\,dx = 1 + t + t^{2},
e pede para encontrar y(x).
Isso é um caso clássico da transformada de Abel. Vamos usar a fórmula de inversão de Abel para recuperar y a partir do lado direito.

Passo 2

A inversão da integral de Abel diz o seguinte: se
G(t)=\int_{0}^{t}\frac{\varphi(x)}{\sqrt{t - x}}\,dx,
então
\varphi(t) =\frac{1}{\pi}\,\frac{d}{dt} \int_{0}^{t}\frac{G(s)}{\sqrt{t - s}}\,ds.
No nosso caso, \varphi(t)=y(t) e G(t)=1+t+t^{2}.

Passo 3

Vamos calcular a convolução
I(t)=\int_{0}^{t}\frac{1 + s + s^{2}}{\sqrt{t - s}}\,ds.
Separando em três integrais e usando mudanças de variável do tipo u=t-s, obtemos:
\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{t - s}}\,ds =2\sqrt{t},
\int_{0}^{t}\frac{s}{\sqrt{t - s}}\,ds =\frac{4}{3}\,t^{3/2},
\int_{0}^{t}\frac{s^{2}}{\sqrt{t - s}}\,ds =\frac{16}{15}\,t^{5/2}.
Somando,
I(t) =2\,t^{1/2} +\frac{4}{3}\,t^{3/2} +\frac{16}{15}\,t^{5/2}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de inversão:
y(t) =\frac{1}{\pi}\,\frac{d}{dt}I(t) =\frac{1}{\pi}\,\frac{d}{dt}\Bigl[ 2\,t^{1/2} +\frac{4}{3}\,t^{3/2} +\frac{16}{15}\,t^{5/2} \Bigr].
Derivando termo a termo,
\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{1/2}\bigr)=t^{-1/2},\quad \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{3}\,t^{3/2}\Bigr) =2\,t^{1/2},\quad \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{16}{15}\,t^{5/2}\Bigr) =\tfrac{8}{3}\,t^{3/2}.
Logo
y(t) =\frac{1}{\pi}\Bigl[ t^{-1/2} +2\,t^{1/2} +\tfrac{8}{3}\,t^{3/2} \Bigr].

Resposta

y(x) =\frac{1}{\pi\sqrt{x}} +\frac{2\sqrt{x}}{\pi} +\frac{8\,x^{3/2}}{3\pi}.

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