15 { }^{\text {a }} Questão : Resolva a seguinte equação integro diferencial:
y^{\prime}(t)=t+\int_{0}^{t} y(t-x) \cos (x) d x \quad y(0)=6

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integro-diferencial de Volterra
y'(t)=t+\int_{0}^{t}y(t-x)\cos(x)\,dx,
com condição inicial y(0)=6.
O conteúdo principal aqui é usar transformada de Laplace e a propriedade de convolução para resolver para y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},
e a convolução
\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}y(t-x)\cos(x)\,dx\Bigr\} =Y(s)\,\mathcal{L}\{\cos t\} =Y(s)\,\frac{s}{s^{2}+1},
temos
sY(s)-6=\frac{1}{s^{2}}+Y(s)\,\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 3

Isolamos Y(s). Primeiro, agrupamos os termos com Y(s):
\Bigl(s-\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr)Y(s)=6+\frac{1}{s^{2}}.
Note que
s-\frac{s}{s^{2}+1} =\frac{s(s^{2}+1)-s}{s^{2}+1} =\frac{s^{3}}{s^{2}+1}.
Logo
Y(s)\,\frac{s^{3}}{s^{2}+1} =6+\frac{1}{s^{2}} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\Bigl(6+\frac{1}{s^{2}}\Bigr)\,\frac{s^{2}+1}{s^{3}}.

Passo 4

Distribuímos e simplificamos:
Y(s) =\frac{6(s^{2}+1)}{s^{3}}+\frac{s^{2}+1}{s^{5}} =\frac{6s^{2}+6}{s^{3}}+\frac{s^{2}+1}{s^{5}} = \frac{6}{s}+\frac{6}{s^{3}}+\frac{1}{s^{3}}+\frac{1}{s^{5}} = \frac{6}{s}+\frac{7}{s^{3}}+\frac{1}{s^{5}}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s}\Bigr\}=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{3}}\Bigr\}=\frac{t^{2}}{2}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{5}}\Bigr\}=\frac{t^{4}}{24}.
Portanto
y(t) =6\cdot1+7\cdot\frac{t^{2}}{2}+1\cdot\frac{t^{4}}{24} =6+\frac{7}{2}\,t^{2}+\frac{1}{24}\,t^{4}.

Resposta

y(t)=6+\frac{7}{2}\,t^{2}+\frac{1}{24}\,t^{4}.

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