(I/2007). (Exemplo obtido de http://statmaster.edu.dk) Em um estudo sobre nutrição infantil em países em desenvolvimento, avaliou-se mensalmente as alturas ( Y, em cm) de crianças com 18 a 30 meses de idade ( X, em meses) da vila de Kalama no Egito. O objetivo do estudo era modelar por regressão linear simples (RLS), o relacionamento entre idade e altura com o propósito de compará-lo com outros países investigados no estudo.
X 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Y 76,1 77,0 78,1 78,2 78,8 79,7 79,9 81,1 81,2 81,8 82,8 83,5 84,6
Pede-se:
a) Informe os valores das somas a seguir, \sum X \sum X^{2} \sum Y \sum Y^{2} e \sum X Y.
b) Estime o acréscimo médio na altura, para cada aumento de um mês na idade.
c) Calcule o percentual do valor da variância observada nas alturas, representado pelo valor da variância das alturas estimadas pelo modelo de RLS, ou explicado pela regressão nos valores das idades.
d) Calcule os desvios da regressão para as idades 18 e 30 meses.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido. (Peguei todos os números da tabela do enunciado.)
  • Dados (pares (X,Y), X em meses e Y em cm):
    (18,76{,}1), (19,77{,}0), (20,78{,}1), (21,78{,}2), (22,78{,}8), (23,79{,}7), (24,79{,}9), (25,81{,}1), (26,81{,}2), (27,81{,}8), (28,82{,}8), (29,83{,}5), (30,84{,}6).
  • Número de observações: n=13.
O que o enunciado pede:
a) Calcular \sum X,\\ \sum X^{2},\\ \sum Y,\\ \sum Y^{2} e \sum XY.
b) Estimar o acréscimo médio na altura para cada aumento de um mês na idade (ou seja, estimar o coeficiente angular da regressão).
c) Calcular o percentual da variância observada em Y que é explicado pela regressão (ou seja, R^{2} em percentagem).
d) Calcular os desvios (resíduos) da regressão para X=18 e X=30 meses.

Passo 2

Calcular as somas pedidas (a). Vou mostrar como calculei cada uma, passo a passo.
  1. Soma das idades \sum X. Como X vai de 18 a 30 em passos de 1, é uma progressão aritmética com n=13 e média (18+30)/2=24. Logo
\sum X = n\cdot\bar X = 13\cdot 24 = 312.
  1. Soma dos quadrados \sum X^{2}. Usei a soma de quadrados de inteiros:
\sum_{k=18}^{30} k^{2} = \sum_{k=1}^{30} k^{2} - \sum_{k=1}^{17} k^{2}.
Calculando (com a fórmula 1^{2}+\cdots+m^{2}=m(m+1)(2m+1)/6) obtive
\sum X^{2} = 7670.
  1. Soma das alturas \sum Y. Somando os valores da tabela (mostro a soma acumulada):
\begin{aligned} 76{,}1+77{,}0&=153{,}1,\\\\ +78{,}1&=231{,}2,\\\\ +78{,}2&=309{,}4,\\\\ +78{,}8&=388{,}2,\\\\ +79{,}7&=467{,}9,\\\\ +79{,}9&=547{,}8,\\\\ +81{,}1&=628{,}9,\\\\ +81{,}2&=710{,}1,\\\\ +81{,}8&=791{,}9,\\\\ +82{,}8&=874{,}7,\\\\ +83{,}5&=958{,}2,\\\\ +84{,}6&=1042{,}8. \end{aligned}
Portanto
\sum Y = 1042{,}8.
  1. Soma dos quadrados \sum Y^{2}. Calculei cada Y^{2} e somei; o resultado é
\sum Y^{2} = 83727{,}74.
(Os Y^{2} foram calculados termo a termo, por exemplo 76{,}1^{2}=5791{,}21, 77{,}0^{2}=5929{,}00, etc., e então somados.)
  1. Soma dos produtos \sum XY. Calculei cada X\cdot Y e somei; o resultado é
\sum XY = 25146{,}5.
Resumo das somas obtidas:
\sum X = 312,\quad \sum X^{2}=7670,\quad \sum Y=1042{,}8,\quad \sum Y^{2}=83727{,}74,\quad \sum XY=25146{,}5.

Passo 3

Montar o modelo de regressão linear simples e estimar os coeficientes (para responder b).
Na regressão linear simples usamos o modelo
Y = \beta_{0} + \beta_{1}X + \varepsilon,
onde \beta_{1} é o acréscimo médio em Y quando X aumenta 1 unidade (o que o item (b) pede) e \beta_{0} é o intercepto.
Fórmulas usuais dos estimadores de mínimos quadrados:
\hat\beta_{1}=\dfrac{\sum (X_{i}-\bar X)(Y_{i}-\bar Y)}{\sum (X_{i}-\bar X)^{2}},\qquad \hat\beta_{0}=\bar Y - \hat\beta_{1}\,\bar X,
com \bar X=\dfrac{\sum X}{n} e \bar Y=\dfrac{\sum Y}{n}.
Calculemos as quantidades auxiliares:
\bar X = \dfrac{312}{13}=24,\qquad \bar Y = \dfrac{1042{,}8}{13}=80{,}215384615\ldots
A soma cruzada centrada (frequentemente chamada S_{XY}) é
S_{XY}=\sum X Y - \dfrac{(\sum X)(\sum Y)}{n} =25146{,}5 - \dfrac{312\cdot 1042{,}8}{13}.
Como \dfrac{312}{13}=24, tem-se \dfrac{312\cdot 1042{,}8}{13}=24\cdot 1042{,}8=25027{,}2. Assim
S_{XY}=25146{,}5 - 25027{,}2 = 119{,}3.
A soma dos quadrados de X centrada (frequentemente chamada S_{XX}) é
S_{XX}=\sum X^{2} - \dfrac{(\sum X)^{2}}{n} =7670 - \dfrac{312^{2}}{13}.
Observe que \dfrac{312^{2}}{13}=\dfrac{97344}{13}=7488, então
S_{XX}=7670 - 7488 = 182.
Agora o coeficiente angular:
\hat\beta_{1}=\dfrac{S_{XY}}{S_{XX}}=\dfrac{119{,}3}{182}=0{,}6555\quad\text{(arredondado a 4 casas decimais).}
E o intercepto:
\hat\beta_{0}=\bar Y - \hat\beta_{1}\bar X =80{,}215384615 - 0{,}6554945\cdot 24 \approx 64{,}4835.
Portanto a reta ajustada é (aproximando)
\widehat Y = 64{,}4835 + 0{,}6555\,X.
Interpretação (aula rápida): \hat\beta_{1}=0{,}6555 significa que, em média, para cada aumento de 1 mês na idade, a altura aumenta cerca de 0{,}6555 cm.

Passo 4

Responder (b) explicitamente e comentar como usar no teste/prova.
  • Resposta do item (b): o acréscimo médio estimado por mês é \hat\beta_{1}\approx 0{,}6555\\ \text{cm/mês}ê.
Dica prática para prova: para encontrar \hat\beta_{1} rapidamente calcule S_{XY}=\sum XY - (\sum X)(\sum Y)/n e S_{XX}=\sum X^{2} - (\sum X)^{2}/n; então \hat\beta_{1}=S_{XY}/S_{XX}. Não precisa calcular \bar X e \bar Y primeiro, mas às vezes ajuda para conferência.

Passo 5

Calcular o percentual da variância de Y explicada pela regressão (item c), isto é, R^{2} em porcentagem.
Definições úteis:
  • Soma total dos quadrados (variância total multiplicada por n): \mathrm{SST}=\sum (Y_{i}-\bar Y)^{2}=\sum Y^{2} - \dfrac{(\sum Y)^{2}}{n}.
  • Soma explicada pela regressão: \mathrm{SSR}=\sum (\hat Y_{i}-\bar Y)^{2}=\dfrac{(S_{XY})^{2}}{S_{XX}}.
  • Soma dos erros: \mathrm{SSE}=\sum (Y_{i}-\hat Y_{i})^{2}=\mathrm{SST}-\mathrm{SSR}.
  • Coeficiente de determinação: R^{2}=\dfrac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}}=1-\dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}}.
Calculemos:
\mathrm{SST}=\sum Y^{2} - \dfrac{(\sum Y)^{2}}{n} =83727{,}74 - \dfrac{1042{,}8^{2}}{13}.
Como 1042{,}8^{2}=1087431{,}84, temos (\sum Y)^{2}/n=1087431{,}84/13\approx 83648{,}60308. Então
\mathrm{SST}\approx 83727{,}74 - 83648{,}60308 = 79{,}13692.
\mathrm{SSR}=(S_{XY})^{2}/S_{XX} = 119{,}3^{2}/182. Calculando,
\mathrm{SSR}\approx \dfrac{14232{,}49}{182} \approx 78{,}2005.
Logo
R^{2}=\dfrac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}}\approx \dfrac{78{,}2005}{79{,}13692}\approx 0{,}9882.
Em percentagem:
R^{2}\times 100\% \approx 98{,}82\%.
Interpretação didática: cerca de 98{,}82\% da variabilidade observada nas alturas é explicada pela regressão linear com a idade — isto é, a relação linear idade→altura é muito forte neste conjunto.

Passo 6

Calcular os desvios da regressão (resíduos) para X=18 e X=30 (item d).
O resíduo para uma observação é
e_i = Y_i - \widehat Y_i.
Usarei os coeficientes estimados \hat\beta_{0}\approx 64{,}4835 e \hat\beta_{1}\approx 0{,}6554945 (mais dígitos para precisão).
  1. Para X=18:
\widehat Y_{18} = 64{,}48351648 + 0{,}65549450549\cdot 18 \approx 76{,}28242.
O observado é Y_{18}=76{,}1, logo
e_{18}=76{,}1 - 76{,}28242 \approx -0{,}18242\\ \text{cm}.
(Interpretação: a criança com 18 meses está 0{,}1824 cm abaixo da altura prevista pela reta.)
  1. Para X=30:
\widehat Y_{30} = 64{,}48351648 + 0{,}65549450549\cdot 30 \approx 84{,}14835.
O observado é Y_{30}=84{,}6, logo
e_{30}=84{,}6 - 84{,}14835 \approx 0{,}45165\\ \text{cm}.
(Interpretação: a criança com 30 meses está 0{,}4516 cm acima da altura prevista.)

Resposta

a) \sum X = 312,\\ \sum X^{2}=7670,\\ \sum Y=1042{,}8,\\ \sum Y^{2}=83727{,}74,\\ \sum XY=25146{,}5
b) Acréscimo médio estimado por mês: \hat\beta_{1}\approx 0{,}6555\\ \text{cm/mês}ê
c) Percentual da variância de Y explicado pela regressão: R^{2}\times 100\%\approx 98{,}82\%
d) Desvios (resíduos):
e_{18}\approx -0{,}1824\\ \text{cm}
e_{30}\approx 0{,}4516\\ \text{cm}

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