(I/2007). (Exemplo obtido de http://statmaster.edu.dk) Em um estudo sobre nutrição infantil em países em desenvolvimento, avaliou-se mensalmente as alturas (
, em cm) de crianças com 18 a 30 meses de idade (
, em meses) da vila de Kalama no Egito. O objetivo do estudo era modelar por regressão linear simples (RLS), o relacionamento entre idade e altura com o propósito de compará-lo com outros países investigados no estudo.
18
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30
76,1
77,0
78,1
78,2
78,8
79,7
79,9
81,1
81,2
81,8
82,8
83,5
84,6
Pede-se:
a) Informe os valores das somas a seguir,
e
.
b) Estime o acréscimo médio na altura, para cada aumento de um mês na idade.
c) Calcule o percentual do valor da variância observada nas alturas, representado pelo valor da variância das alturas estimadas pelo modelo de RLS, ou explicado pela regressão nos valores das idades.
d) Calcule os desvios da regressão para as idades 18 e 30 meses.
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18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
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76,1 | 77,0 | 78,1 | 78,2 | 78,8 | 79,7 | 79,9 | 81,1 | 81,2 | 81,8 | 82,8 | 83,5 | 84,6 |
a) Informe os valores das somas a seguir,
b) Estime o acréscimo médio na altura, para cada aumento de um mês na idade.
c) Calcule o percentual do valor da variância observada nas alturas, representado pelo valor da variância das alturas estimadas pelo modelo de RLS, ou explicado pela regressão nos valores das idades.
d) Calcule os desvios da regressão para as idades 18 e 30 meses.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido. (Peguei todos os números da tabela do enunciado.)
-
Dados (pares
, em meses e em cm):
. -
Número de observações:
.
O que o enunciado pede:
a) Calcular e
.
b) Estimar o acréscimo médio na altura para cada aumento de um mês na idade (ou seja, estimar o coeficiente angular da regressão).
c) Calcular o percentual da variância observada em que é explicado pela regressão (ou seja,
em percentagem).
d) Calcular os desvios (resíduos) da regressão para e
meses.
a) Calcular
b) Estimar o acréscimo médio na altura para cada aumento de um mês na idade (ou seja, estimar o coeficiente angular da regressão).
c) Calcular o percentual da variância observada em
d) Calcular os desvios (resíduos) da regressão para
Passo 2
Calcular as somas pedidas (a). Vou mostrar como calculei cada uma, passo a passo.
- Soma das idades
. Como vai de 18 a 30 em passos de 1, é uma progressão aritmética com e média . Logo
- Soma dos quadrados
. Usei a soma de quadrados de inteiros:
Calculando (com a fórmula
) obtive
- Soma das alturas
. Somando os valores da tabela (mostro a soma acumulada):
Portanto
- Soma dos quadrados
. Calculei cada e somei; o resultado é
(Os
foram calculados termo a termo, por exemplo
,
, etc., e então somados.)
- Soma dos produtos
. Calculei cada e somei; o resultado é
Resumo das somas obtidas:
Passo 3
Montar o modelo de regressão linear simples e estimar os coeficientes (para responder b).
Na regressão linear simples usamos o modelo
onde
é o acréscimo médio em
quando
aumenta 1 unidade (o que o item (b) pede) e
é o intercepto.
Fórmulas usuais dos estimadores de mínimos quadrados:
com
e
.
Calculemos as quantidades auxiliares:
A soma cruzada centrada (frequentemente chamada
) é
Como
, tem-se
. Assim
A soma dos quadrados de
centrada (frequentemente chamada
) é
Observe que
, então
Agora o coeficiente angular:
E o intercepto:
Portanto a reta ajustada é (aproximando)
Interpretação (aula rápida):
significa que, em média, para cada aumento de 1 mês na idade, a altura aumenta cerca de
cm.
Passo 4
Responder (b) explicitamente e comentar como usar no teste/prova.
- Resposta do item (b): o acréscimo médio estimado por mês é
.
Dica prática para prova: para encontrar
rapidamente calcule
e
; então
. Não precisa calcular
e
primeiro, mas às vezes ajuda para conferência.
Passo 5
Calcular o percentual da variância de
explicada pela regressão (item c), isto é,
em porcentagem.
Definições úteis:
- Soma total dos quadrados (variância total multiplicada por
): . - Soma explicada pela regressão:
. - Soma dos erros:
. - Coeficiente de determinação:
.
Calculemos:
Como
, temos
. Então
Já
. Calculando,
Logo
Em percentagem:
Interpretação didática: cerca de
da variabilidade observada nas alturas é explicada pela regressão linear com a idade — isto é, a relação linear idade→altura é muito forte neste conjunto.
Passo 6
Calcular os desvios da regressão (resíduos) para
e
(item d).
O resíduo para uma observação é
Usarei os coeficientes estimados
e
(mais dígitos para precisão).
- Para
:
O observado é
, logo
(Interpretação: a criança com 18 meses está
cm abaixo da altura prevista pela reta.)
- Para
:
O observado é
, logo
(Interpretação: a criança com 30 meses está
cm acima da altura prevista.)
Resposta
a)
b) Acréscimo médio estimado por mês:
c) Percentual da variância de
explicado pela regressão:
d) Desvios (resíduos):