(II/2006). Estudou-se o relacionamento entre o tempo de uma reação química, expresso em minutos
e o valor da concentração, expressa em %, de um composto ativador da reação
. Os valores testados para
variaram de
a
, tendo este último valor causado reação instantânea. O estudo possibilitou o ajuste da seguinte equação de regressão linear simples,
Interprete a estimativa do coeficiente de determinação.
Passo 1
O enunciado fornece a reta de regressão estimada
e o coeficiente de determinação
. A pergunta é: interpretar a estimativa do coeficiente de determinação
. Vou listar as informações relevantes fornecidas:
- A variável resposta é
: tempo da reação (minutos). - A variável explicativa é
: concentração do composto ativador (%). - O modelo linear simples foi ajustado e resultou em
. - Precisa-se dizer o que esse valor de
significa, em termos práticos e estatísticos.
Passo 2
O que é o coeficiente de determinação
?
- Em regressão linear simples, define-se a soma total de quadrados (variabilidade total) como
a soma dos quadrados explicada pelo modelo como
e a soma dos quadrados dos resíduos (não explicada) como
O coeficiente de determinação é
Explicação didática:
mede a fração (proporção) da variabilidade total de
que é explicada pela reta de regressão em função de
. Está entre
e
(ou
e
quando multiplicado por
).
Passo 3
Interpretação numérica direta de
:
- Converter para porcentagem:
- Interpretação verbal: cerca de
da variabilidade observada nos tempos de reação é explicada pela variação na concentração através do modelo de regressão linear ajustado.
Passo 4
O que sobra e o que isso significa na prática:
- A parcela não explicada pelo modelo é
ou seja
da variabilidade de
não é explicada pela relação linear com
. Essa parte restante pode ser causada por variação aleatória, erros de medição, outras variáveis não incluídas no modelo ou inadequação do modelo (por exemplo efeitos não lineares).
Passo 5
Relação com correlação e sinal da associação (informação útil para a interpretação):
- Em regressão linear simples vale
, onde é o coeficiente de correlação linear entre e . Assim
- O sinal de
corresponde ao sinal do coeficiente angular da reta. Aqui a reta tem coeficiente angular (negativo), logo o coeficiente de correlação é negativo:
- Interpretação: existe uma associação linear negativa muito forte entre
e — à medida que a concentração aumenta, o tempo de reação tende a diminuir de forma fortemente linear.
Passo 6
Interpretação contextual prática e observações importantes (cautelas que normalmente o professor espera):
- Contexto prático: o modelo prediz bem o tempo da reação a partir da concentração; uma grande parcela da variação dos tempos é explicada pela concentração. Por exemplo, o ajuste sugere que conhecer
dá muita informação sobre . - Observação sobre causalidade:
alto não prova causalidade. Aqui, porém, se há um mecanismo químico plausível (concentração afetando tempo), a interpretação causal pode ser plausível — mas estatisticamente só fala de associação/explicação de variabilidade. - Observação sobre diagnóstico do modelo: um
alto é bom indicativo de ajuste, mas não garante que o modelo seja adequado em todos os aspectos (resíduos poderiam mostrar padrão, haver outliers, heterocedasticidade, ou a relação poder ser não linear fora da faixa observada). Também resultados fora da faixa de usada (extrapolação) são perigosos. - Observação sobre intervalo de
informado no enunciado: o estudo usou entre e ; o modelo coincide com o fato físico notado (em a previsão dá minutos, reação instantânea), então o ajuste parece coerente com esse extremo.
Passo 7
Resumo em linguagem direta e amigável (para decorar e usar na prova):
- Dizer que
significa: “Cerca de da variação observada nos tempos de reação é explicada por uma relação linear com a concentração do ativador.” - Complementar útil para a prova: “Resta
da variação sem explicação pelo modelo, possivelmente devida a ruído ou outras variáveis; e a correlação é fortemente negativa ( ).”
Resposta
Cerca de
da variabilidade observada em
(tempo da reação) é explicada pela variação em
(concentração) via o modelo linear ajustado; portanto apenas
da variabilidade permanece sem explicação pelo modelo.