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Considere o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}}-4 \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}-2, em que \mathbf{n} é um número natural.
Dividindo \mathrm{P}(\mathrm{x}) por (\mathrm{x}+1), o resto \mathbf{r} encontrado é tal que
A) \mathrm{r}<2
B) 2 \leq r<5
C) 5 \leq r<8
D) r \geq 8

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \displaystyle P(x)=5x^{2n}-4x^{2n+1}-2,
com n natural, e pede o resto r da divisão de P(x) por (x+1). Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que esse resto é P(-1).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto,
r = P(-1).
Substituímos x=-1 em P(x):
r = 5(-1)^{2n} - 4(-1)^{2n+1} - 2.

Passo 3

Note que, para todo n natural, temos
(-1)^{2n} = 1 \quad\text{e}\quad (-1)^{2n+1} = -1.
Logo
r = 5\cdot1 \;-\; 4\cdot(-1) \;-\; 2.

Passo 4

Fazendo as contas:
r = 5 + 4 - 2 = 7.
Portanto o resto da divisão é 7.

Resposta

C) 5 \le r < 8

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