Questão
Considere a sequência abaixo, em que os primeiros termos são:
.
Tal sequência é divergente.
Qual é o octingentésimo termo da sequência?
(A) 640.800
(B) 639.200
(C) 6.480
(D) 6.320
(E) 6.120
Tal sequência é divergente.
Qual é o octingentésimo termo da sequência?
(A) 640.800
(B) 639.200
(C) 6.480
(D) 6.320
(E) 6.120
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
.
A pergunta é: qual é o octingentésimo termo da sequência (ou seja, o termo de índice )?
As alternativas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
A pergunta é: qual é o octingentésimo termo da sequência (ou seja, o termo de índice
As alternativas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 2
Vamos observar o padrão entre termos consecutivos (as diferenças). Calcule as primeiras diferenças:
Então as diferenças entre termos formam a sequência
— ou seja, os números pares crescentes. Isso sugere que a diferença entre
e
é uma expressão linear em
.
Passo 3
Identificar a fórmula da diferença. Tomando a indexação natural começando em
com
, notamos que para
:
Verificação rápida: para
dá
; para
dá
, etc., coincidindo com as diferenças observadas.
Passo 4
Transformar essa relação em fórmula fechada. Como
, podemos somar as diferenças para obter
:
Mude a variável da soma para simplificar: seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora use a fórmula da soma dos primeiros
inteiros:
. Aqui
, então
Substituindo:
Portanto a forma fechada da sequência (com a indexação
) é
(Observação alternativa rápida: também se pode ver os termos como
etc., o que leva direto à fórmula
.)
Passo 5
Agora calcule o octingentésimo termo aplicando
:
Faça a multiplicação sem calculadora por decomposição:
Passo 6
Compare com as alternativas: o valor obtido
corresponde à alternativa (B).
Resposta
(B)