21{ }^{\text {a }} Questão

Considere a sequência abaixo, em que os primeiros termos são:
\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=(0,2,6,12,20,30,42 \ldots.
Tal sequência é divergente.
Qual é o octingentésimo termo da sequência?
(A) 640.800
(B) 639.200
(C) 6.480
(D) 6.320
(E) 6.120

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
A_{n} = (0,\,2,\,6,\,12,\,20,\,30,\,42,\ldots).
A pergunta é: qual é o octingentésimo termo da sequência (ou seja, o termo de índice 800)?
As alternativas são:
(A) 640.800
(B) 639.200
(C) 6.480
(D) 6.320
(E) 6.120

Passo 2

Vamos observar o padrão entre termos consecutivos (as diferenças). Calcule as primeiras diferenças:
\begin{aligned} A_2-A_1 &= 2-0 = 2,\\\ A_3-A_2 &= 6-2 = 4,\\\ A_4-A_3 &= 12-6 = 6,\\\ A_5-A_4 &= 20-12 = 8,\\\ A_6-A_5 &= 30-20 = 10,\\\ A_7-A_6 &= 42-30 = 12. \end{aligned}
Então as diferenças entre termos formam a sequência 2,4,6,8,10,12,\ldots — ou seja, os números pares crescentes. Isso sugere que a diferença entre A_n e A_{n-1} é uma expressão linear em n.

Passo 3

Identificar a fórmula da diferença. Tomando a indexação natural começando em n=1 com A_1=0, notamos que para n\ge2:
A_n - A_{n-1} = 2(n-1).
Verificação rápida: para n=2 2(2-1)=2; para n=3 2(3-1)=4, etc., coincidindo com as diferenças observadas.

Passo 4

Transformar essa relação em fórmula fechada. Como A_1=0, podemos somar as diferenças para obter A_n:
A_n = A_1 + \sum_{k=2}^{n} (A_k-A_{k-1}) = 0 + \sum_{k=2}^{n} 2(k-1).
Mude a variável da soma para simplificar: seja j=k-1. Quando k=2 temos j=1; quando k=n temos j=n-1. Assim
A_n = \sum_{j=1}^{\,n-1} 2j = 2\sum_{j=1}^{\,n-1} j.
Agora use a fórmula da soma dos primeiros m inteiros: \displaystyle \sum_{j=1}^{m} j = \frac{m(m+1)}{2}. Aqui m=n-1, então
\sum_{j=1}^{\,n-1} j = \frac{(n-1)n}{2}.
Substituindo:
A_n = 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} = n(n-1).
Portanto a forma fechada da sequência (com a indexação A_1=0) é
A_n = n(n-1).
(Observação alternativa rápida: também se pode ver os termos como 0=0\cdot1,\;2=2\cdot1,\;6=3\cdot2,\;12=4\cdot3, etc., o que leva direto à fórmula A_n=n(n-1).)

Passo 5

Agora calcule o octingentésimo termo aplicando n=800:
A_{800}=800\cdot(800-1)=800\cdot799.
Faça a multiplicação sem calculadora por decomposição:
800\cdot799 = 800\cdot(800-1)=800\cdot800-800=640000-800=639200.

Passo 6

Compare com as alternativas: o valor obtido 639200 corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) \,639200

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