21{ }^{\underline{a}} Questão: Um fio com massa igual a 40,0 g é esticado de modo que suas extremidades permanecem fixas a uma distância igual a 80,0 \mathrm{~cm}. O fio vibra de forma que a freqüência do modo fundamental é igual a 60,0 \mathrm{~Hz} e a amplitude em um ventre é igual a 0,3 \mathrm{~cm}. (a) Ache a velocidade de propagação de uma onda transversal no fio. (b) Calcule a tensão no fio. (c) Calcule a velocidade transversal máxima e a aceleração de partículas no fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio de comprimento L=80{,}0\\ \text{cm}=0{,}80\\ \text{m}, massa m=40{,}0\\ \text{g}=0{,}040\\ \text{kg}, fixo em ambas as extremidades, vibrando no modo fundamental com frequência f_1=60{,}0\\ \text{Hz}. A amplitude de oscilação no ventre (antinode) é A=0{,}3\\ \text{cm}=0{,}003\\ \text{m}.
Conteúdos necessários:
  1. Relação do modo fundamental em cordas fixas:
f_1=\frac{v}{2L}\,,
onde v é a velocidade de propagação.
2. Densidade linear de massa \mu = m/L e tensão T=\mu v^2.
3. Descrição de onda estacionária transversal
y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t),
com k=2\pi/\lambda e \omega=2\pi f_1.

Passo 2

Para achar a velocidade de propagação usamos
f_1=\frac{v}{2L} \quad\Longrightarrow\quad v=2L\,f_1.
Substituindo L=0{,}80\\ \text{m} e f_1=60{,}0\\ \text{Hz}:
v=2\cdot0{,}80\cdot60{,}0=96{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 3

A densidade linear é
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}040\\ \text{kg}}{0{,}80\\ \text{m}}=0{,}050\\ \text{kg/m}.
A tensão vem de v=\sqrt{T/\mu}, logo
T=\mu\,v^2=0{,}050\cdot(96{,}0)^2=0{,}050\cdot9216=460{,}8\\ \text{N}.

Passo 4

No modo estacionário transversal temos
y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t),
com \omega=2\pi f_1=2\pi\cdot60{,}0=120\pi\\ \text{rad/s}.
A velocidade transversal é
v_y=\frac{\partial y}{\partial t} =-A\sin(kx)\,\omega\sin(\omega t),
e a aceleração transversal é
a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} =-A\sin(kx)\,\omega^2\cos(\omega t).
No ventre \sin(kx)=\pm1, portanto os máximos são
v_{y,\max}=A\,\omega, \quad a_{y,\max}=A\,\omega^2.

Passo 5

Substituindo A=0{,}003\\ \text{m} e \omega=120\pi\\ \text{rad/s}:
v_{y,\max} =0{,}003\cdot120\pi =0{,}36\pi\approx1{,}13\\ \text{m/s},
a_{y,\max} =0{,}003\cdot(120\pi)^2 =0{,}003\cdot14400\,\pi^2 =43{,}2\,\pi^2\approx426{,}9\\ \text{m/s}^2.

Resposta

(a) 96{,}0\\ \text{m/s}
(b) 460{,}8\\ \text{N}
(c) v_{y,\max}\approx1{,}13\\ \text{m/s} e a_{y,\max}\approx426{,}9\\ \text{m/s}^2.

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