7.22 Um cilindro sólido de raio a e comprimento L, onde L \gg a, contém carga volumétrica de densidade uniforme \rho_{0} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. O cilindro gira em torno de seu eixo (o eixo z ) com velocidade angular de \Omega \mathrm{rad} / \mathrm{s}. (a) Determine a densidade de corrente
\mathbf{J} como uma função da posição dentro do cilindro girante. (b) Determine
\mathbf{H} no eixo aplicando os resultados do Problema 7.6.
(c) Determine a intensidade de campo magnético
\mathbf{H} dentro e fora.
(d) Verifique seu resultado da parte (c) tomando o rotacional de
\mathbf{H}.
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro sólido de raio a e comprimento L\gg a, com densidade de carga volumétrica uniforme \rho_{0}, girando em torno do eixo z com velocidade angular \Omega. Vamos usar:
A relação \mathbf{J}=\rho\,\mathbf{v} para achar a densidade de corrente.
Biot–Savart ou a superposição de anéis de corrente para H no eixo de um cilindro de comprimento finito.
O teorema de Ampère no regime estacionário \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} para achar H(r) aproximando-se de um cilindro “infinito” (pois L\gg a).
Finalmente, calcular o rotacional de \mathbf{H} para verificar \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.
Passo 2
Cada elemento de carga no cilindro tem velocidade
\mathbf{v} = \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}
com \boldsymbol{\Omega}=\Omega\,\hat z e \mathbf{r}=r\,\hat r. Então \mathbf{v}= \Omega\,r\,\hat\varphi.
Logo a densidade de corrente volumétrica é
Para achar \mathbf{H} no eixo r=0 de um cilindro de comprimento L, dividimos o corpo em anéis de raio r e espessura dr.
Em cada anel a corrente total é
dI = J_{\varphi}(r)\,(\text{área do corte}) = \bigl(\rho_{0}\,\Omega\,r\bigr)\,(L\,dr) =\rho_{0}\,\Omega\,L\,r\,dr.
O campo magnético axial no centro de um anel de raio r e corrente dI é
Como L\gg a\), no interior e fora do cilindro podemos usar aproximação de cilindro “infinito” e simetria cilíndrica: \(\mathbf{H}=H_{z}(r)\,\hat z\).
Do teorema de Ampère (sem termo de deslocamento),
\[\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} \quad\Longrightarrow\quad (\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi} =\frac{\partial H_{r}}{\partial z} -\frac{\partial H_{z}}{\partial r} =J_{\varphi}(r).
Para verificar, calculemos \nabla\times\mathbf{H}\). A única componente não nula é
\[(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi} =-\frac{dH_{z}}{dr} =\begin{cases} \rho_{0}\,\Omega\,r,&r\le a,\\\\ 0,&r>a, \end{cases}
que é exatamente J_{\varphi}(r)\]. Assim \(\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.