Um fio cilíndrico de raio a é orientado com o eixo z. O fio conduz uma corrente não uniforme de densidade
\mathbf{J}=b \rho \mathbf{a}{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}, onde b é uma constante. (a) Qual é a corrente total que flui no fio? (b) Encontre
\mathbf{H}{interno} (0<\rho<a) como uma função de \rho; (c) Encontre
\mathbf{H}_{externo}(\rho>a) como uma função de \rho; (d) verifique os resultados das partes (b) e (c) por meio da utilização de \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}.
\mathbf{J}=b \rho \mathbf{a}{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}, onde b é uma constante. (a) Qual é a corrente total que flui no fio? (b) Encontre
\mathbf{H}{interno} (0<\rho<a) como uma função de \rho; (c) Encontre
\mathbf{H}_{externo}(\rho>a) como uma função de \rho; (d) verifique os resultados das partes (b) e (c) por meio da utilização de \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}.
Passo 1
O enunciado descreve um fio cilíndrico de raio
orientado segundo o eixo
, com densidade de corrente não uniforme
onde
é constante e
é a coordenada radial cilíndrica.
Vamos calcular:
(a) a corrente total ,
(b) o campo interno
,
(c) o campo externo
,
(d) verificar .
Usaremos a Lei de Ampère na forma integral e, depois, o operador rotacional em coordenadas cilíndricas.
Vamos calcular:
(a) a corrente total
(b) o campo
(c) o campo
(d) verificar
Usaremos a Lei de Ampère na forma integral e, depois, o operador rotacional em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Para achar a corrente total integramos a componente
de
sobre a seção transversal:
Passo 3
Para
, aplicamos a Lei de Ampère num caminho circular de raio
:
onde
Logo
Portanto
Passo 4
Para
, toda a corrente do fio está dentro do caminho de ampère, então
Dessa forma
isto é,
Passo 5
Verificação via
em coordenadas cilíndricas. O único componente não nulo de
é
, então o componente
de
vale
Para
:
Para
:
Está verificado que
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) A verificação com confere nos dois regimes.
(b)
(c)
(d) A verificação com