Um fio cilíndrico de raio a é orientado com o eixo z. O fio conduz uma corrente não uniforme de densidade
\mathbf{J}=b \rho \mathbf{a}{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}, onde b é uma constante. (a) Qual é a corrente total que flui no fio? (b) Encontre
\mathbf{H}
{interno} (0<\rho<a) como uma função de \rho; (c) Encontre
\mathbf{H}_{externo}(\rho>a) como uma função de \rho; (d) verifique os resultados das partes (b) e (c) por meio da utilização de \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}.

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de raio a orientado segundo o eixo z, com densidade de corrente não uniforme
\mathbf{J} = b\,\rho\,\mathbf{a}_{z}\quad\text{(A/m}^2\text{)},
onde b é constante e \rho é a coordenada radial cilíndrica.
Vamos calcular:
(a) a corrente total I,
(b) o campo \mathbf{H} interno 0<\rho<a,
(c) o campo \mathbf{H} externo \rho>a,
(d) verificar \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.
Usaremos a Lei de Ampère na forma integral e, depois, o operador rotacional em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para achar a corrente total integra­mos a componente z de \mathbf{J} sobre a seção transversal:
I = \int_{S}J_{z}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a} \bigl(b\,\rho\bigr)\,\rho\,d\rho\,d\varphi = 2\pi b \int_{0}^{a}\rho^{2}d\rho = 2\pi b\,\frac{a^{3}}{3}.

Passo 3

Para \rho<a, aplicamos a Lei de Ampère num caminho circular de raio \rho:
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = H_{\varphi}(\rho)\,(2\pi\rho) = I_{\text{enc}}(\rho),
onde
I_{\text{enc}}(\rho) = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\rho} b\,\rho'\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi = 2\pi b\,\frac{\rho^{3}}{3}.
Logo
H_{\varphi}(\rho) = \frac{2\pi b\,\frac{\rho^{3}}{3}}{2\pi\rho} = \frac{b\,\rho^{2}}{3}.
Portanto
\mathbf{H}_{\text{interno}}(\rho) = \frac{b\,\rho^{2}}{3}\,\mathbf{a}_{\varphi},\quad 0<\rho<a.

Passo 4

Para \rho>a, toda a corrente do fio está dentro do caminho de ampère, então
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = H_{\varphi}(\rho)\,(2\pi\rho) = I_{\text{total}} = 2\pi b\,\frac{a^{3}}{3}.
Dessa forma
H_{\varphi}(\rho) = \frac{2\pi b\,\frac{a^{3}}{3}}{2\pi\rho} = \frac{b\,a^{3}}{3\,\rho},
isto é,
\mathbf{H}_{\text{externo}}(\rho) = \frac{b\,a^{3}}{3\,\rho}\,\mathbf{a}_{\varphi},\quad \rho>a.

Passo 5

Verificação via \nabla\times\mathbf{H} em coordenadas cilíndricas. O único componente não nulo de \mathbf{H} é H_{\varphi}(\rho), então o componente z de \nabla\times\mathbf{H} vale
(\nabla\times\mathbf{H})_{z} = \frac{1}{\rho}\,\frac{d}{d\rho}\bigl(\rho\,H_{\varphi}(\rho)\bigr).
Para 0<\rho<a:
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\cdot\frac{b\,\rho^{2}}{3}\Bigr) = \frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\frac{b\,\rho^{3}}{3}\Bigr) = b\,\rho = J_{z}.
Para \rho>a:
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\cdot\frac{b\,a^{3}}{3\,\rho}\Bigr) = \frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\frac{b\,a^{3}}{3}\Bigr) = 0 = J_{z}\\ (\text{fora do fio}).
Está verificado que \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.

Resposta

(a) \displaystyle I=2\pi b\,\frac{a^{3}}{3}.
(b) \displaystyle \mathbf{H}_{\text{interno}}(\rho)=\frac{b\,\rho^{2}}{3}\,\mathbf{a}_{\varphi},\;0<\rho<a.
(c) \displaystyle \mathbf{H}_{\text{externo}}(\rho)=\frac{b\,a^{3}}{3\,\rho}\,\mathbf{a}_{\varphi},\;\rho>a.
(d) A verificação com \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} confere nos dois regimes.

Exercícios relacionados