Ex. 22. Dado o campo vetorial de deslocamentos , fornecido abaixo, represente o processo de deformação obtendo as posições finais do ponto-base material (descrito pelo vetor posição ) e de 4 pontos no entorno do mesmo. Utilize um fator de escala para visualizar os deslocamentos dos pontos extremos dos filamentos e S T.
Adote as dimensões De<a x1=De<a x2=10^-3 m.
DICA: Para facilitar, use um papel quadriculado.
Campo de deslocamentos: u=u(x)=u(x1, x2)=lu1(x1, x2) u2(x1, x2)=l2+x1+x2^2 1-x2^2-x1^2 10^-3 m
Ponto P: xo=l1, 2, m.
Ponto Q: xQ=xo+c-De<a x1 0, Ponto R: xR=xo+cDe<a x1 0.
Ponto S: xS=xo+c0 -De<a x2, Ponto T: xT=xo+c0 De<a x2.
e cinco pontos iniciais no plano: bul<=t P em x0=(1,2), m. bul<=t Q,R variando De<a x1=10^-3, m em x1. bul<=t S,T variando De<a x2=10^-3, m em x2.
Queremos obter as posições finais
x'=x+u(x)
de P,Q,R,S,T e indicar um fator de escala para desenhar os deslocamentos.]
Passo 2
Calcular o deslocamento e a posição final de P.
Em Pcolon(x1,x2)=(1,2):
u1(P)=(2+1+2^2),10^-3=7,0times10^-3 m, u2(P)=(1-2^2-1^2),10^-3=-4,0times10^-3 m
Logo
P': x1'=1 + 7,0times10^-3=1,007 m, x2'=2 - 4,0times10^-3=1,996 m
Passo 3
Calcular Q e R (deslocamentos ao longo de x1).
Em Qcolon(x1,x2)=(1-10^-3,2)=(0,999,2):
u1(Q)=(2+0,999+4),10^-3=6,999times10^-3 m, u2(Q)=(1-4-0,999^2),10^-3=-3,998times10^-3 m
Q':;(x1',x2')=(0,999+6,999times10^-3,;2-3,998times10^-3)=(1,005999,;1,996002) m
Em Rcolon(x1,x2)=(1+10^-3,2)=(1,001,2):
u1(R)=7,001times10^-3 m, u2(R)=-4,002times10^-3 m,
R':;(x1',x2')=(1,001+7,001times10^-3,;2-4,002times10^-3)=(1,008001,;1,995998) m
Passo 4
Calcular S e T (deslocamentos ao longo de x2).
Em Scolon(x1,x2)=(1,,2-10^-3)=(1,1,999):
u1(S)=(2+1+1,999^2),10^-3=6,996001times10^-3 m, u2(S)=(1-1,999^2-1),10^-3=-3,996001times10^-3 m,
S':;(x1',x2')=(1+6,996001times10^-3,;1,999-3,996001times10^-3) =(1,006996,;1,995004) m
Em Tcolon(x1,x2)=(1,,2+10^-3)=(1,2,001):
u1(T)=7,004001times10^-3 m, u2(T)=-4,004001times10^-3 m,
T':;(x1',x2')=(1+7,004001times10^-3,;2,001-4,004001times10^-3) =(1,007004,;1,996996) m
Passo 5
Para desenhar em papel quadriculado as barras QR e ST com deslocamentos visíveis, adote um fator de escala
E = 1000,
ou seja, cada 1times10^-3 m vira 1 quadrado. Assim: bul<=t O segmento original QR de comprimento 2times10^-3 m se torna 2 quadrados. bul<=t O deslocamento de Q em x1 de 6,999times10^-3 m vira ~7 quadrados, e assim por diante para os outros pontos.
No desenho, ligue cada ponto inicial ao correspondente final para visualizar a deformação.
Resposta
Posições finais (em metros): P':(1,007,;1,996) Q':(1,005999,;1,996002) R':(1,008001,;1,995998) S':(1,006996,;1,995004) T':(1,007004,;1,996996)