-••22 Expande-se 1,00 \mathrm{~mol} de um gás monoatômico ideal inicialmente a 5,00 \mathrm{kPa} e 600 K do volume inicial V_{\mathrm{i}}=1,00 \mathrm{~m}^{3} para o volume final V_{f}=2,00 \mathrm{~m}^{3}. Em qualquer instante durante a expansão a pressão p e o volume V do gás estão relacionados por p=5,00 \exp \left[\left(V_{i}-V\right) / a\right], com p em \mathrm{kPa}, V_{i} e V em \mathrm{m}^{3}, e a=1,00 \mathrm{~m}^{3}. Quais são (a) a pressão e (b) a temperatura final do gás? (c) Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? (d) Qual é o valor de \Delta S para a expansão? (Sugestão: Use dois processos reversíveis simples para determinar \Delta S.)

Passo 1

O enunciado descreve a expansão de 1,00 mol de um gás monoatômico ideal, inicialmente em p_i=5,00 kPa, T_i=600 K e V_i=1,00 m^{3}, até V_f=2,00 m^{3}. Em qualquer estágio vale
p(V)=5{,}00\exp\!\bigl[(V_i - V)/a\bigr]\quad\text{(kPa)},\quad a=1{,}00\text{ m}^3.
Pedem-se:
(a) pressão final p_f,
(b) temperatura final T_f,
(c) trabalho W realizado,
(d) variação de entropia \Delta S.
Usaremos a lei dos gases ideais, a integral W=\int p\,dV e a fórmula de entropia de um gás ideal monatomic, \Delta S=nC_V\ln(T_f/T_i)+nR\ln(V_f/V_i).

Passo 2

Para V_f=2{,}00 m^{3},
p_f=5{,}00\exp\!\bigl[(1{,}00-2{,}00)/1{,}00\bigr] =5{,}00\,e^{-1} \approx1{,}84\text{ kPa}.

Passo 3

Pela lei dos gases ideais,
T_f=\frac{p_f\,V_f}{nR},
onde convertemos p_f para pascal: p_f=1{,}84\times10^3 Pa, V_f=2{,}00 m^{3}, n=1, R=8,314 J\cdot mo l^{-} ^{1}\cdot K^{-} ^{1}.
Logo
T_f=\frac{1{,}84\times10^3\cdot2{,}00}{1\cdot8{,}314} \approx443\text{ K}.

Passo 4

O trabalho é
W=\int_{V_i}^{V_f}p\,dV =\int_{1{,}00}^{2{,}00}5\exp\!\bigl[(1{,}00-V)/1{,}00\bigr]\,dV =5\cdot1{,}00\bigl[1-e^{-1}\bigr].
Em kJ (pois kPa \cdot m^{3} = kJ):
W=5\bigl[1-e^{-1}\bigr]\approx3{,}16\text{ kJ}.

Passo 5

Para \Delta S usamos dois caminhos reversíveis:
1. Isochoricamente de (T_i,V_i) a (T_f,V_i),
2. Isotermicamente de (T_f,V_i) a (T_f,V_f).
Como C_V=\tfrac32R,
\Delta S =nC_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i} =1\cdot\frac32R\ln\frac{443}{600} +1\cdot R\ln\frac{2{,}00}{1{,}00}.
Calculando:
\ln(443/600)\approx-0,304, \ln2\approx0,693,
\Delta S =8{,}314\bigl(1{,}5\cdot(-0,304)+0,693\bigr) \approx1{,}97\text{ J/K}.

Resposta

(a) p_f=5{,}00\,e^{-1}\approx1{,}84\text{ kPa}.
(b) T_f\approx443\text{ K}.
(c) W=5\bigl[1-e^{-1}\bigr]\approx3{,}16\text{ kJ}.
(d) \Delta S\approx1{,}97\text{ J/K}.

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