22- \int \frac{1}{x \ln (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \int \frac{1}{x \ln(x)}\,dx. Esse é um problema de integração em que aparece \ln(x) no denominador e sua derivada \frac{1}{x} no numerador, indicando que podemos usar substituição simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x),
pois assim o denominador fica apenas u.

Passo 3

Derivando em relação a x, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx,
ou seja, \frac{1}{x}\,dx = du.

Passo 4

Substituindo em \int \frac{1}{x \ln(x)}\,dx, temos
\int \frac{1}{x \ln(x)}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.
A integral de \frac{1}{u} é
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = \ln(x) e obtemos
\ln\lvert u\rvert + C = \ln\bigl\lvert \ln(x)\bigr\rvert + C.

Resposta

\ln\bigl\lvert \ln(x)\bigr\rvert + C

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