8- \int \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada da função \cos(3x). O conteúdo aqui é integração por substituição, já que temos um argumento linear em x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x,
de onde
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \cos(3x)\,dx obtemos
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
A antiderivada de \cos(u) é \sin(u), logo
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x com u=3x, temos
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Resposta

\frac{1}{3}\sin(3x) + C.

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