22 Se x=\frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} e y=\left(\frac{a^{-2}+b^{-3}}{a}\right)^{-1},
calcule o valor numérico de \mathrm{x} \cdot \mathrm{y} quando
\mathrm{a}=2 e \mathrm{b}=-1

Passo 1

O enunciado define
x = \frac{a^{-2} + b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}}
e
y = \Bigl(\frac{a^{-2} + b^{-3}}{a}\Bigr)^{-1}
e pede o valor de x\cdot y para a=2 e b=-1. Vamos usar regras de potências (exponentes negativos) e operações de fração para simplificar cada um.

Passo 2

Simplificando x:
x = \frac{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b^2 + a^2}{a^2 b^2}}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{b^2 + a^2}{a^2 b^2}\,\cdot\,\frac{ab}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{ab\,(a+b)}.

Passo 3

Simplificando y:
y = \Bigl(\frac{a^{-2} + b^{-3}}{a}\Bigr)^{-1} = \frac{a}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^3}} = \frac{a}{\frac{b^3 + a^2}{a^2 b^3}} = a\;\cdot\;\frac{a^2 b^3}{b^3 + a^2} = \frac{a^3 b^3}{b^3 + a^2}.

Passo 4

Calculando o produto x\cdot y:
x\cdot y = \frac{a^2 + b^2}{ab\,(a+b)}\;\cdot\;\frac{a^3 b^3}{b^3 + a^2} = \frac{a^2 b^2\,(a^2 + b^2)}{(a+b)\,(b^3 + a^2)}.

Passo 5

Substituindo a=2 e b=-1:
a^2=4,\quad b^2=1,\quad a^2+b^2=5,\quad a^2 b^2=4,\quad a+b=1,\quad b^3=-1,\quad b^3+a^2=3.
Logo
x\cdot y = \frac{4\cdot5}{1\cdot3} = \frac{20}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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