9.23 Aplique análise fasorial para calcular o seguinte:
v=\left[110 \operatorname{sen}\left(20 t+30^{\circ}\right)+220 \cos \left(20 t-90^{\circ}\right)\right] \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado dá a tensão no tempo
v(t)=\left[110\operatorname{sen}\left(20t+30^\circ\right)+220\cos\left(20t-90^\circ\right)\right]\\ \mathrm{V}.
O que nos pediram é aplicar análise fasorial para calcular (ou seja, somar os dois termos harmônicos de mesma frequência e representar o resultado como um único fasor e como uma única função no tempo). Informações relevantes: ambas as parcelas têm a mesma pulsação \omega=20 (rad/s) e amplitudes 110 e 220.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar as duas grandezas na mesma referência trigonométrica (uso a forma cosseno, que é a convenção comum para fasores).
Usamos a identidade \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-90^\circ). Aplicando ao primeiro termo:
110\operatorname{sen}\left(20t+30^\circ\right)=110\cos\left(20t+30^\circ-90^\circ\right)=110\cos\left(20t-60^\circ\right).
Logo a soma vira
v(t)=110\cos\left(20t-60^\circ\right)+220\cos\left(20t-90^\circ\right).

Passo 3

Explicando o conceito de fasor (rápido e direto): para um termo \,A\cos(\omega t+\alpha)\, associamos o fasor complexo (amplitude) A\angle\alpha. A soma de senóides de mesma \omega corresponde à soma vetorial (complexa) dos fasores. Aqui temos os dois fasores:
\text{Fasor 1: }\;110\angle{-60^\circ},\qquad \text{Fasor 2: }\;220\angle{-90^\circ}.

Passo 4

Para somar facilmente convertemos os fasores para forma retangular x+jy. Lembrete: \cos\theta=\Re(e^{j\theta}), e \angle\theta corresponde a \cos\theta + j\operatorname{sen}\theta.
Calculamos cada componente:
110\angle{-60^\circ}=110\big(\cos(-60^\circ)+j\operatorname{sen}(-60^\circ)\big).
Sabendo \cos(-60^\circ)=0{,}5 e \operatorname{sen}(-60^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}8660254, temos
110\angle{-60^\circ}=110(0{,}5) + j\,110(-0{,}8660254)=55 - j\,95{,}262794.
Para o segundo:
220\angle{-90^\circ}=220\big(\cos(-90^\circ)+j\operatorname{sen}(-90^\circ)\big)=220(0) + j\,220(-1)= -j\,220.

Passo 5

Somamos as partes reais e imaginárias:
\text{Real total}=55+0=55,
\text{Imaginário total}=-95{,}262794-220=-315{,}262794.á
Logo o fasor resultante em forma retangular é
V_{\text{fasor}}=55 - j\,315{,}262794.

Passo 6

Agora transformamos para forma polar (magnitude e ângulo), usando as fórmulas
|V|=\sqrt{(\Re\{V\})^2+(\Im\{V\})^2},\qquad \angle V=\operatorname{atan2}(\Im\{V\},\Re\{V\}).
Calculando:
|V|=\sqrt{55^2+(-315{,}262794)^2}\approx\sqrt{3025+99390{,}6293}\approx320{,}024\\ \mathrm{V},
\angle V=\operatorname{atan2}(-315{,}262794,\,55)\approx -80{,}106^\circ.
(Interpretação rápida: ângulo negativo indica que o resultado está atrasado em relação ao cosseno de referência.)

Passo 7

Voltando ao tempo: o fasor V=320{,}02\angle{-80{,}11^\circ} corresponde à função no tempo, na forma cosseno:
v(t)=320{,}02\cos\big(20t-80{,}11^\circ\big)\\ \mathrm{V}.
Se preferirmos expressar em seno (já que o enunciado original tinha seno), usamos \cos(\theta-\!80{,}11^\circ)=\sin(\theta+\!9{,}89^\circ) porque \cos(\theta-\varphi)=\sin(\theta-\varphi+90^\circ). Assim:
v(t)=320{,}02\sin\big(20t+9{,}89^\circ\big)\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Pequeno check de sanidade (meio motivador): as amplitudes somadas sem considerar fase seriam 110+220=330 V, e o resultado realista 320{,}02 V é um pouco menor — faz sentido porque as fases não são iguais e há cancelamento parcial. Tá ficando bom — você tá quase dominando!

Resposta

V_{\text{fasor}}=320{,}02\angle{-80{,}11^\circ\\ }\mathrm{V}\n
v(t)=320{,}02\cos\big(20t-80{,}11^\circ\big)\\ \mathrm{V}\n
v(t)=320{,}02\sin\big(20t+9{,}89^\circ\big)\\ \mathrm{V}

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