Simplifique o seguinte:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para simplificar (ou seja, escrever como uma única função sinusoidal com a mesma frequência
).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Dois termos com a mesma frequência angular
. - Coeficientes e deslocamentos de fase:
com e multiplicando . - Objetivo final: combinar em uma única função do tipo
(ou equivalente).
Passo 2
Vamos transformar tudo em termos de
e
. Para isso usamos as fórmulas de soma/ diferença:
Aplicando à primeira parcela:
Aplicando à segunda parcela:
Passo 3
Agora somamos termos com
e com
. Primeiro recorde os valores exatos:
Para
e
usamos as fórmulas de
e
:
Agora calcule os coeficientes de
e
.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Logo
Passo 4
Para escrever
como uma única cossenoide usamos a identidade de combinação:
seja e
tal que
seja
Então
(calculo padrão:
, que dá os coeficientes acima).
Passo 5
Calculemos
. Expansão direta dá
Agrupando termos e usando
obtemos (passo algébrico):
Note o interior:
. Agora observe a identidade
portanto para
:
Assim
Voltando a
:
Portanto
Passo 6
Precisamos do ângulo
. Podemos encontrá-lo por
onde
e
. Numericamente:
Assim
Como preferimos uma fase positiva no argumento do cosseno, usemos
Passo 7
Reescrevendo tudo de forma final:
onde o valor de
é a aproximação de
obtida pelo cálculo da razão
. Se preferir a fase expressa implicitamente de forma exata, pode ficar:
com