Simplifique o seguinte:
f(t)=5 \cos \left(2 t+15^{\circ}\right)-4 \operatorname{sen}\left(2 t-30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=5\cos\left(2t+15^{\circ}\right)-4\operatorname{sen}\left(2t-30^{\circ}\right)
e pede para simplificar (ou seja, escrever como uma única função sinusoidal com a mesma frequência 2t).
Informações relevantes que temos:
  • Dois termos com a mesma frequência angular 2t.
  • Coeficientes e deslocamentos de fase: 5 com +15^{\circ} e -4 multiplicando \operatorname{sen}(2t-30^{\circ}).
  • Objetivo final: combinar em uma única função do tipo R\cos(2t+\varphi) (ou equivalente).

Passo 2

Vamos transformar tudo em termos de \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t). Para isso usamos as fórmulas de soma/ diferença:
\cos(2t+\theta)=\cos(2t)\cos\theta-\operatorname{sen}(2t)\operatorname{sen}\theta,
\operatorname{sen}(2t-\theta)=\operatorname{sen}(2t)\cos\theta-\cos(2t)\operatorname{sen}\theta.
Aplicando à primeira parcela:
5\cos\left(2t+15^{\circ}\right)=5\big(\cos2t\cos15^{\circ}-\sen2t\sen15^{\circ}\big).
Aplicando à segunda parcela:
-4\operatorname{sen}\left(2t-30^{\circ}\right)=-4\big(\sen2t\cos30^{\circ}-\cos2t\sen30^{\circ}\big).

Passo 3

Agora somamos termos com \cos2t e com \sen2t. Primeiro recorde os valores exatos:
\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sen30^{\circ}=\frac{1}{2}.
Para \cos15^{\circ} e \sen15^{\circ} usamos as fórmulas de \cos(45^{\circ}-30^{\circ}) e \operatorname{sen}(45^{\circ}-30^{\circ}):
\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}\big(\sqrt{3}+1\big),\qquad \sen15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}\big(\sqrt{3}-1\big).
Agora calcule os coeficientes de \cos2t e \sen2t.
Coeficiente de \cos2t:
C=5\cos15^{\circ}+4\sen30^{\circ}=5\cos15^{\circ}+2.
Coeficiente de \sen2t:
S=-5\sen15^{\circ}-4\cos30^{\circ}=-5\sen15^{\circ}-2\sqrt{3}.
Logo
f(t)=C\cos2t+S\sen2t.

Passo 4

Para escrever f(t) como uma única cossenoide usamos a identidade de combinação:
seja R=\sqrt{C^{2}+S^{2}} e \varphi tal que
C=R\cos\varphi,\qquad S=R\operatorname{sen}\varphi.
Então
f(t)=R\cos(2t-\varphi).
(calculo padrão: \cos(2t-\varphi)=\cos2t\cos\varphi+\sen2t\operatorname{sen}\varphi, que dá os coeficientes acima).

Passo 5

Calculemos R^{2}=C^{2}+S^{2}. Expansão direta dá
R^{2}=(5\cos15^{\circ}+2)^{2}+(-5\sen15^{\circ}-2\sqrt{3})^{2}.
Agrupando termos e usando \cos^{2}15^{\circ}+\operatorname{sen}^{2}15^{\circ}=1 obtemos (passo algébrico):
R^{2}=41+4\big(5\cos15^{\circ}+ \; \sqrt{3}\cdot 5\sen15^{\circ}\big).
Note o interior: 5\big(\cos15^{\circ}+\sqrt{3}\sen15^{\circ}\big). Agora observe a identidade
\cos\theta+\sqrt{3}\operatorname{sen}\theta=2\cos(\theta-60^{\circ}),
portanto para \theta=15^{\circ}:
\cos15^{\circ}+\sqrt{3}\sen15^{\circ}=2\cos(-45^{\circ})=2\cos45^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Assim
5\big(\cos15^{\circ}+\sqrt{3}\sen15^{\circ}\big)=5\sqrt{2}.
Voltando a R^{2}:
R^{2}=41+4\cdot 5\sqrt{2}=41+20\sqrt{2}.
Portanto
R=\sqrt{41+20\sqrt{2}}.

Passo 6

Precisamos do ângulo \varphi. Podemos encontrá-lo por
\varphi=\operatorname{atan2}(S,C),
onde C=5\cos15^{\circ}+2 e S=-5\sen15^{\circ}-2\sqrt{3}. Numericamente:
C\approx 6,82962913,\qquad S\approx -4,75819683.
Assim
\varphi\approx -34,94^{\circ}.
Como preferimos uma fase positiva no argumento do cosseno, usemos
\cos(2t-\varphi)=\cos\big(2t-(-34,94^{\circ})\big)=\cos(2t+34,94^{\circ}).

Passo 7

Reescrevendo tudo de forma final:
f(t)=\sqrt{41+20\sqrt{2}}\;\cos\big(2t+34,94^{\circ}\big),
onde o valor de 34,94^{\circ} é a aproximação de -\varphi obtida pelo cálculo da razão S/C. Se preferir a fase expressa implicitamente de forma exata, pode ficar:
f(t)=\sqrt{41+20\sqrt{2}}\;\cos\big(2t-\varphi\big),
com
\varphi=\operatorname{atan2}\big(-5\sen15^{\circ}-2\sqrt{3},\;5\cos15^{\circ}+2\big).

Resposta

\displaystyle f(t)=\sqrt{41+20\sqrt{2}}\cos\!\big(2t+34,94^{\circ}\big)

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