2.23 Os elementos A B e C D são barras de aço de 28,6 \mathrm{~mm} de diâmetro, e os elementos B C e A D são barras de aço de 22,2 \mathrm{~mm} de diâmetro. Quando o tensor é esticado, o elemento diagonal A C é posto sob tração. Sabendo que E=200 \mathrm{GPa} e h=1219 \mathrm{~mm}, determine a maior tração admissível em A C de modo que as deformações nos elementos A B e C D não excedam 1 mm .

Passo 1

O enunciado descreve um quadro retangular ABCD com AB e CD barras verticais de diâmetro de 28{,}6\\ \mathrm{mm} e BC, AD barras horizontais de diâmetro de 22{,}2\\ \mathrm{mm}. O elemento diagonal AC tem tensão F e comprimento original L = \sqrt{h^2 + b^2} com h = 1219\\ \mathrm{mm} e b = 0{,}9\\ \mathrm{m} = 900\\ \mathrm{mm}. Sabendo E = 200\\ \mathrm{GPa}, queremos a maior F tal que a deformação axial em AB e em CD não exceda \delta_{\max}=1\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Cálculo do comprimento da diagonal AC:
L = \sqrt{900^2 + 1219^2} \approx 1515{,}1\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Equilíbrio no nó C: a tensão F em AC tem componente vertical
P_v = F\sin\theta \quad\text{com}\quad \sin\theta = \frac{h}{L}.
Esse P_v é a força axial em CD. Similarmente, em A, AB carrega a mesma P_v. Assim,
P_v = F\,\frac{h}{L}.

Passo 4

Deformação axial máxima permitida em AB (ou CD) é
\delta = \frac{P_v\,h}{A_v\,E}\le 1\\ \mathrm{mm},
onde a área de seção de AB é
A_v = \frac{\pi}{4}\,(28{,}6)^2\\ \mathrm{mm}^2 \approx 642{,}3\\ \mathrm{mm}^2.
Substituindo P_v = F\,\tfrac{h}{L},
1 = \frac{F\,(h/L)\,h}{A_v\,E} \;\Longrightarrow\; F = \frac{1\cdot A_v\,E\,L}{h^2}.

Passo 5

Agora basta inserir valores:
F = \frac{1\cdot (642{,}3)\,(200\,000)\,(1515,1)} {(1219)^2} \\ \mathrm{N} \approx 1{,}31\times 10^5\\ \mathrm{N}.

Resposta

A maior tração admissível em AC é aproximadamente 1{,}31\times10^5\\ \mathrm{N} (ou 131\\ \mathrm{kN}).

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