Determine o módulo e o ponto de aplicação da menor carga adicional que deve ser aplicada à sapata da fundação para que a força resultante das cinco cargas passe pelo centro da sapata.

Passo 1

O enunciado mostra quatro cargas verticais (sempre apontando para baixo) aplicadas numa sapata em “L” formada por dois vigamentos de comprimento 3{,}0\rm\;m cada, apoiados ortogonalmente em C. Queremos adicionar uma quinta carga vertical P de modo que a resultante das cinco forças passe pelo centro geométrico da sapata.
Conteúdo: condições de equilíbrio de forças e momentos, centro de área (centro geométrico) de uma viga de contorno em L, e escolha da aplicação de P num dos vigamentos.

Passo 2

Definimos um sistema de eixos no plano horizontal passando por C, com x para a direita (sentido C\to D) e z para trás (sentido C\to B). Os quatro carregamentos dados são:
– Em B: F_B=100\rm\;kN em (x_B,z_B)=(0,3{,}0).
– Em A: F_A=20\rm\;kN em (x_A,z_A)=(0,1{,}8).
– Em C: F_C=40\rm\;kN em (x_C,z_C)=(0,0).
– Em D: F_D=60\rm\;kN em (x_D,z_D)=(1{,}5,0).

Passo 3

Determinamos primeiro o centro geométrico da sapata, tratando-a como duas vigas de mesmo comprimento L=3{,}0 que se unem em C. Como a massa (ou largura) é constante, o “centro” em x e em z fica a
x_G \;=\;\frac{\int_{0}^{3}x\,dx}{2\cdot3} =\frac{\tfrac12\;3^2}{6}=0{,}75\rm\;m,\quad z_G \;=\;\frac{\int_{0}^{3}z\,dz}{6}=0{,}75\rm\;m.

Passo 4

Para que a resultante das cargas passe por (x_G,z_G), os momentos totais em torno dos eixos horizontais x e z (que resultam das forças verticais) devem se anular quando incluirmos P.
  1. Calculamos os momentos das quatro cargas conhecidas em torno de x e z, tomando sinais conforme o braço de alavanca:
    \displaystyle\Delta x_i=x_i-x_G,\;\Delta z_i=z_i-z_G.
    – Para A: \Delta x_A=0-0{,}75=-0{,}75,\;\Delta z_A=1{,}8-0{,}75=1{,}05.
    – Para B: \Delta x_B=0-0{,}75=-0{,}75,\;\Delta z_B=3{,}0-0{,}75=2{,}25.
    – Para C: \Delta x_C=-0{,}75,\;\Delta z_C=-0{,}75.
    – Para D: \Delta x_D=1{,}5-0{,}75=0{,}75,\;\Delta z_D=-0{,}75.
Somando
M_x^{(4)}=\sum F_i\,\Delta z_i =20\cdot1{,}05+100\cdot2{,}25+40\cdot(-0{,}75)+60\cdot(-0{,}75) =171\rm\;kN\cdot m,
M_z^{(4)}=\sum F_i\,\Delta x_i =20\cdot(-0{,}75)+100\cdot(-0{,}75)+40\cdot(-0{,}75)+60\cdot0{,}75 =-75\rm\;kN\cdot m.
  1. A carga P, aplicada em (x_P,z_P), gera momentos
M_x^{(P)}=P\,(z_P-z_G), \quad M_z^{(P)}=-\,P\,(x_P-x_G).
Para cancelarmos os momentos existentes:
M_x^{(4)}+M_x^{(P)}=0 \;\Rightarrow\;P\,(z_P-0{,}75)=-171,
M_z^{(4)}+M_z^{(P)}=0 \;\Rightarrow\;-P\,(x_P-0{,}75)=75.

Passo 5

Como só podemos aplicar P sobre uma das vigas (a do ramo x ou a do ramo z), testamos as duas possibilidades:
  1. Sobre a viga C\to D z_P=0, 0\le x_P\le3:
z_P-z_G=-0{,}75 \quad\Rightarrow\; P(-0{,}75)=-171 \;\Rightarrow\; P=228\rm\;kN.
Em seguida,
-P\,(x_P-0{,}75)=75 \;\Rightarrow\; x_P-0{,}75=-\frac{75}{228}\approx-0{,}329 \;\Rightarrow\; x_P=0{,}75-0{,}329=0{,}421\rm\;m,
que está dentro do segmento 0\le x_P\le3.
  1. Sobre a viga C\to B x_P=0, 0\le z_P\le3:
-P\,(0-0{,}75)=75 \;\Rightarrow\; 0{,}75\,P=75 \;\Rightarrow\; P=100\rm\;kN,
mas daí
P\,(z_P-0{,}75)=-171 \;\Rightarrow\; z_P-0{,}75=-1{,}71 \;\Rightarrow\; z_P=-0{,}96\rm\;m,
fora do intervalo 0\le z_P\le3. Não é viável.
Portanto a menor carga adicional possível é a que fica sobre C\to D.

Resposta

P =228 kN, aplicada no ramo C\to D a 0{,}421\rm\;m de C (sentido C\to D), isto é, em (x_P,z_P)=(0{,}421,\,0).

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