-23 Uma máquina de Carnot tem uma eficiência de 22,0%. Ela opera entre duas fontes de calor de temperatura constante cuja diferença de temperatura é 75,0 \mathrm{C}^{\circ}. Qual é a temperatura (a) da fonte fria e (b) da fonte quente?

Passo 1

O enunciado diz que uma máquina de Carnot tem eficiência de 22{,}0\% e opera entre duas fontes cuja diferença de temperatura é 75{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}. Pede-se a temperatura da fonte fria ( T_c) e da fonte quente ( T_h). Para resolver, vamos usar a fórmula da eficiência de Carnot e lembrar que uma diferença de 75{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} equivale a 75{,}0 K.

Passo 2

A eficiência de uma máquina de Carnot é dada por
\eta \;=\; 1 \;-\;\frac{T_c}{T_h}
onde T_c e T_h são as temperaturas absolutas (em kelvin) da fonte fria e quente, respectivamente.

Passo 3

Como \Delta T = T_h - T_c = 75{,}0\\ \mathrm{K} e \eta = 0{,}220, reescrevemos a fórmula isolando T_h:
\eta \;=\; 1 - \frac{T_c}{T_h} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_c}{T_h} = 1 - \eta
e também
T_h - T_c = \eta\,T_h \quad\Longrightarrow\quad \eta\,T_h = 75{,}0 \quad\Longrightarrow\quad T_h = \frac{75{,}0}{0{,}220} \approx 340{,}9\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Agora calculamos T_c pela relação T_c = T_h(1-\eta):
T_c = 340{,}9\,(1 - 0{,}220) = 340{,}9 \times 0{,}780 \approx 265{,}9\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Convertendo para graus Celsius, usando T(^{\circ}\mathrm{C})=T(\mathrm{K})-273{,}15:
T_h = 340{,}9 - 273{,}15 \approx 67{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}, \qquad T_c = 265{,}9 - 273{,}15 \approx -7{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) T_c \approx -7{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}.
(b) T_h \approx 67{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.

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