A água escoa em um tubo cilíndrico, preenchendo-o completamente, com uma vazão de 1,2 \mathrm{~m}^{3} /s). A área transversal do tubo possui área que varia ao longo do sentido do escoamento. (a) Qual o volume de água transportado em 1 min ? (b) Em um determinado ponto do tubo o diâmetro é de 30 cm . (c) Qual a velocidade do fluído neste ponto? (d) Em um segundo ponto a velocidade passa a ser 3,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual o diâmetro do tubo neste ponto?

Passo 1

O enunciado dá a vazão volumétrica de água num tubo cilíndrico como \displaystyle Q=1{,}2\\ \mathrm{m^3/s}. Precisamos calcular:
a) o volume transportado em 1 minuto;
b) dado o diâmetro \displaystyle d=30\\ \mathrm{cm} num ponto, achar ali a velocidade do fluido;
c) dado outro ponto em que a velocidade vale 3,8\\ \mathrm{m/s}, achar o diâmetro desse ponto.
Usaremos a relação fundamental da vazão em escoamento incompressível:
Q = A \, v,
onde A é a área da seção transversal e v a velocidade local do fluido.

Passo 2

Calcular o volume transportado em 1 minuto. Como 1 minuto tem 60 segundos, basta multiplicar:
V = Q \,\Delta t = 1{,}2\\ \mathrm{m^3/s} \times 60\\ \mathrm{s} = 72\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

No ponto em que o diâmetro vale d=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}, a área da seção é
A = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 = \pi\Bigl(\frac{0{,}30}{2}\Bigr)^2 = \pi\,(0{,}15)^2 \approx 0{,}0707\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Usando Q = A\,v, isolamos a velocidade neste ponto:
v = \frac{Q}{A} = \frac{1{,}2}{0{,}0707} \approx 16{,}98\\ \mathrm{m/s} \approx 17{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

No segundo ponto, a velocidade é v_2=3,8\\ \mathrm{m/s}. A área correspondente é
A_2 = \frac{Q}{v_2} = \frac{1{,}2}{3,8} \approx 0{,}3158\\ \mathrm{m^2}.
Para achar o diâmetro d_2, escrevemos
A_2 = \pi\Bigl(\frac{d_2}{2}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad d_2 = 2\,\sqrt{\frac{A_2}{\pi}} = 2\,\sqrt{\frac{0{,}3158}{\pi}} \approx 0{,}634\\ \mathrm{m} \approx 63{,}4\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) 72\\ \mathrm{m^3}
(c) 17{,}0\\ \mathrm{m/s}
(d) 0{,}634\\ \mathrm{m} (aprox.\ 63{,}4\\ \mathrm{cm})

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