23〉 Mostre que o corpo de frações de \mathbb{Z}[i] é isomorfo à \mathbb{Q}(i)=\{a+b i \mid a, b \in \mathbb{Q}\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o corpo de frações de \mathbb{Z}[i] (os inteiros gaussianos) é isomorfo ao corpo
\mathbb{Q}(i)\;=\;\{\,a + b\,i \mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
O conteúdo principal é a construção do corpo de frações de um domínio de integridade e a prova de um isomorfismo de corpos. Vamos usar que \mathbb{Z}[i]$ é domínio de integridade, a definição de corpo de frações e construir um homomorfismo bijetivo para \(\mathbb{Q}(i).)

Passo 2

Definimos o corpo de frações \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) como o conjunto de classes de equivalência
[(x,y)],\quad x,y\in\mathbb{Z}[i],\;y\neq0,
onde
(x,y)\sim(x',y')\quad\Longleftrightarrow\quad x\,y' \;=\; x'\,y.
As operações são
[(x,y)]+[(x',y')] = [(x\,y' + x'\,y,\;y\,y')], \quad [(x,y)]\cdot[(x',y')] = [(x\,x',\;y\,y')].

Passo 3

Para construir o isomorfismo, note que em \mathbb{C} vale
\frac{x}{y} \;=\;\frac{x\,\overline{y}}{y\,\overline{y}} \;=\;\frac{x\,\overline{y}}{N(y)},
onde \overline{y} é o conjugado de y e N(y)=y\,\overline{y}\in\mathbb{Z}. Definimos então
\varphi\colon \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) \;\longrightarrow\;\mathbb{Q}(i), \qquad \varphi\bigl([(x,y)]\bigr) =\frac{x\,\overline{y}}{N(y)}.

Passo 4

Mostramos que \varphi é bem-definida e homomorfismo de corpos:
  1. Se (x,y)\sim(x',y'), então x\,y'=x'\,y. Multiplicando em cada lado por \overline{y}\,\overline{y'} obtém-se
x\,\overline{y}\;N(y') \;=\; x'\,\overline{y'}\,N(y),
de onde
\frac{x\,\overline{y}}{N(y)} \;=\;\frac{x'\,\overline{y'}}{N(y')}.
Logo \varphi([(x,y)]) independe da escolha de representante.
  1. Para soma e produto, basta verificar que a fórmula da fração no numerador e denominador se comporta de acordo com as operações em \mathbb{Q}(i). Assim \varphi preserva soma, produto, elemento neutro e inverso.

Passo 5

Provar injetividade e sobrejetividade:
– Injetividade: se \varphi([(x,y)])=0 então x\,\overline{y}=0 em \mathbb{C}. Como \mathbb{Z}[i] é domínio e y\neq0, segue x=0 e portanto [(x,y)]=[(0,1)], o zero de \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]).
– Sobrejetividade: dado um a+bi\in\mathbb{Q}(i), escreva a=\tfrac{p}{r} e b=\tfrac{q}{r} com p,q,r\in\mathbb{Z} e r\neq0. Então
a+bi =\frac{p+q\,i}{r} =\varphi\bigl([(p+q\,i,\;r)]\bigr),
mostrando que todo elemento de \mathbb{Q}(i) está na imagem de \varphi.
Como \varphi é um homomorfismo de corpos bijetivo, concluímos que
\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) \;\cong\;\mathbb{Q}(i).

Resposta

O corpo de frações de \mathbb{Z}[i] é isomorfo a \mathbb{Q}(i).

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