O conteúdo principal é a construção do corpo de frações de um domínio de integridade e a prova de um isomorfismo de corpos. Vamos usar que \mathbb{Z}[i]$ é domínio de integridade, a definição de corpo de frações e construir um homomorfismo bijetivo para \(\mathbb{Q}(i).)
Passo 2
Definimos o corpo de frações \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]) como o conjunto de classes de equivalência
Logo \varphi([(x,y)]) independe da escolha de representante.
Para soma e produto, basta verificar que a fórmula da fração no numerador e denominador se comporta de acordo com as operações em \mathbb{Q}(i). Assim \varphi preserva soma, produto, elemento neutro e inverso.
Passo 5
Provar injetividade e sobrejetividade:
– Injetividade: se \varphi([(x,y)])=0 então x\,\overline{y}=0 em \mathbb{C}. Como \mathbb{Z}[i] é domínio e y\neq0, segue x=0 e portanto [(x,y)]=[(0,1)], o zero de \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[i]).
– Sobrejetividade: dado um a+bi\in\mathbb{Q}(i), escreva a=\tfrac{p}{r} e b=\tfrac{q}{r} com p,q,r\in\mathbb{Z} e r\neq0. Então