Calcule \iint_{R} f(x, y) d x d y para:
f(x, y)=y^{3} e^{x y^{2}}, R éo retângulo 0 \leqslant x \leqslant 1,1 \leqslant y \leqslant 2;

Passo 1

Resumindo o enunciado: devemos calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=y^{3}e^{x y^{2}} e R é o retângulo 0\le x\le1, 1\le y\le2. Vamos usar o teorema de Fubini para integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Escrevemos
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx\Bigr)\,dy.
Como y^{3} é constante em relação a x,
\int_{x=0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx.

Passo 3

Para \int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx, tratamos y como parâmetro:
\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx =\Bigl[\tfrac{1}{y^{2}}e^{x y^{2}}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{e^{y^{2}}-1}{y^{2}}.
Multiplicando por y^{3} obtemos
y^{3}\cdot\frac{e^{y^{2}}-1}{y^{2}} = y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr).

Passo 4

Substituindo no integral em y:
\int_{1}^{2}y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\,dy = \int_{1}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy \;-\;\int_{1}^{2}y\,dy.
Para \int_{1}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy usamos u=y^{2}, du=2y\,dy:
\int_{1}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy =\frac12\int_{u=1}^{4}e^{u}\,du =\frac{e^{4}-e}{2}.
E
\int_{1}^{2}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2}.

Passo 5

Fazendo a diferença:
\frac{e^{4}-e}{2}-\frac{3}{2} =\frac{e^{4}-e-3}{2}.

Resposta

\frac{e^{4}-e-3}{2}.

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