8.23 Sabendo que \theta=40^{\circ} e P=9 \mathrm{kN}, determine
a correspondente tensão de esmagamento média no membro A B

Passo 1

O enunciado pede: determinar a correspondente tensão de esmagamento média no membro AB.
Dados fornecidos pelo enunciado: \theta=40^\circ e P=9\\ \mathrm{kN}.
Observação importante: o enunciado original provavelmente depende de uma figura (posicionamento da força P, como o pino atravessa o membro AB, diâmetro do pino ou do furo, espessura do membro, se é cisalhamento simples ou duplo etc.). Essa figura ou dados geométricos NÃO foram fornecidos aqui. Sem esses detalhes geométricos não é possível calcular numericamente a tensão de esmagamento média.

Passo 2

O que é necessário ter para calcular a tensão de esmagamento média (o que está faltando):
  • A definição do que a figura chama de AB: é uma placa com um furo onde passa um pino? É um membro cilíndrico?
  • O diâmetro do pino (ou diâmetro do furo) d e a espessura/altura do membro t na região de contato — esses determinam a área de contato projetada usada no cálculo do esmagamento.
  • Se o carregamento ao furo é em uma única superfície (cisalhamento/suporte simples) ou se há duas superfícies resistindo (duplo apoio / duas superfícies de contato), porque isso altera a área total que suporta a carga.
  • A orientação exata entre P e o membro AB: precisamos saber o ângulo entre a linha de ação de P e a face que é carregada para saber qual componente de P efetivamente gera esmagamento sobre AB. O enunciado deu \theta=40^\circ, mas sem a figura não sabemos se \theta é exatamente o ângulo entre P e AB ou entre P e outra referência.
Conclusão deste passo: faltam os dados geométricos ( d, t, configuração de contato) e a relação geométrica entre P e AB. Por isso não dá para obter um número final agora.

Passo 3

A teoria e as fórmulas que você usará na prova (aula prática, mastigada):
  • Definição simples: tensão de esmagamento média é a força aplicada dividida pela área de contato através da qual essa força é transmitida. Em forma genérica:
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{F_{\text{sobre }AB}}{A_{\text{contato}}}.
Aqui:
  • F_{\text{sobre }AB} é a força que realmente comprime (esmaga) o membro AB — isto é, a componente da carga P que atua na direção que produz contato/pressionamento em AB.
  • A_{\text{contato}} é a área projetada de contato entre o pino (ou outro elemento) e o membro AB.
  • Como obter F_{\text{sobre }AB}: geralmente você resolve a estática (diagrama de corpo livre) do conjunto para ver como P é transmitido ao pino/abertura. Se a força P forma um ângulo \alpha com a direção normal à superfície de contato, então a componente que gera esmagamento é P\cos\alpha (ou P\sin\alpha, dependendo da definição do ângulo). Em linguagem prática: sempre desenhe o diagrama de forças e projete P na direção perpendicular à superfície que sofre contato. Exemplo de decomposição:
F_{\text{sobre }AB}=P\cos\alpha,
onde \alpha é o ângulo entre P e a linha perpendicular à superfície de contato — ATENÇÃO: identifique corretamente o ângulo na figura.
  • Como obter A_{\text{contato}}: para um pino num furo em uma placa fina, a área projetada de contato costuma ser:
A_{\text{contato}}=d\cdot t,
onde d é o diâmetro do pino (ou do furo) e t é a espessura da placa (medidos nas mesmas unidades). Se houver duas faces de contato (por exemplo, o pino apoia duas placas lado a lado), a área total pode ser 2 d t. Se o contato é através de uma bucha ou superfície curva, a área projetada relevante pode ter outra forma — por isso a figura e a especificação são essenciais.
  • Unidades e resultado: se P está em \mathrm{kN} e d,t em \mathrm{mm}, recomenda-se converter P para \mathrm{N} ( 1\\ \mathrm{kN}=1000\\ \mathrm{N}) e a área em \mathrm{mm}^2. Assim a tensão virá em \mathrm{N/mm^2} que é numericamente igual a \mathrm{MPa}. Exemplo de conversão rápida: se P=9\\ \mathrm{kN}, então P=9000\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Passo a passo concreto que você aplicará na prova (assim que tiver a figura/dados faltantes):
  1. Leia a figura e identifique a superfície de contato entre pino e membro AB. Identifique d (diâmetro do pino ou do furo) e t (espessura do membro AB). Identifique se há uma ou duas faces de apoio.
  2. Desenhe o diagrama de corpo livre e determine a força que atua sobre AB: calcule a componente de P que comprime o membro AB. Se o ângulo dado \theta for, como normalmente ocorre, o ângulo entre P e a direção do membro, então:
F_{\text{sobre }AB}=P\cos\theta
ou
F_{\text{sobre }AB}=P\sin\theta,
dependendo de como \theta está definido na figura. Conclua qual é a componente correta a partir do desenho.
3. Calcule a área de contato: normalmente A_{\text{contato}}=d\cdot t para uma superfície; se houver duas superfícies, A_{\text{contato}}=2 d t.
4. Calcule a tensão de esmagamento média:
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{F_{\text{sobre }AB}}{A_{\text{contato}}}.
  1. Faça as conversões de unidade: P em N, área em mm ^2 \sigma em N/mm ^2 = MPa. Arredonde conforme pedido.

Passo 5

Exemplo didático (apenas para fixar a ideia — estou assumindo números só para mostrar o procedimento; NÃO são fornecidos pelo seu enunciado):
Suponha (apenas nesta ilustração) que o diâmetro do pino seja d=20\\ \mathrm{mm} e a espessura de AB seja t=10\\ \mathrm{mm}, e que \theta é o ângulo entre P e a direção que gera esmagamento, então:
  • P=9\\ \mathrm{kN}=9000\\ \mathrm{N}.
  • Componente sobre AB: F_{\text{sobre }AB}=P\cos\theta=9000\cos(40^\circ). Calcule \cos(40^\circ)\approx0{,}7660, logo F_{\text{sobre }AB}\approx9000\times0{,}7660\approx6894\\ \mathrm{N}.
  • Área de contato: A_{\text{contato}}=d t=20\times10=200\\ \mathrm{mm}^2.
  • Tensão de esmagamento média: \sigma_{\text{esmag}}=\dfrac{6894}{200}\approx34{,}47\\ \mathrm{N/mm^2}=34{,}47\\ \mathrm{MPa}.
Reforço: esse cálculo SÓ é válido se os valores d e t e a configuração forem realmente esses — no seu exercício real nós não temos d nem t nem a geometria, então isto é só um exemplo ilustrativo do método.

Resposta

Não é possível fornecer o valor numérico da tensão de esmagamento média porque a figura/dados geométricos necessários (diâmetro d, espessura t, e a configuração de contato) não foram fornecidos.
Expressão geral aplicável (assumindo cisalhamento simples e que \theta é o ângulo tal que a componente de P que gera esmagamento é P\cos\theta):
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{P\cos\theta}{d\,t}.
Se houver duas faces de contato (duplo apoio), a expressão seria
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{P\cos\theta}{2\,d\,t}.

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