8.23 Sabendo que \theta=40^{\circ} e P=9 \mathrm{kN}, determine
a correspondente tensão de esmagamento média em cada apoio do suporte em B.

Passo 1

O enunciado (curto) fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos: \theta = 40^\circ e P = 9\\ \mathrm{kN}.
  • Pedido: determinar a correspondente tensão de esmagamento média em cada apoio do suporte em B.
Observação importante: o enunciado refere-se a um suporte em B e a “cada apoio”, mas não foi enviada a figura do problema nem dimensões geométricas. Sem a figura não sabemos:
  • quantos apoios existem em B (dois, três, …);
  • a posição da força P em relação aos apoios (colocação e possíveis excentricidades);
  • a orientação real da carga P em relação à linha de contato (se \theta é o ângulo com a vertical ou com a horizontal e qual componente efetivamente gera esmagamento);
  • as áreas de contato de cada apoio (área projetada A, largura b, espessura t, ou forma do contato).
Por isso, com os dados que você mandou NÃO há informação suficiente para calcular um valor numérico final.

Passo 2

Vou explicar, passo a passo e de forma didática, o método padrão que se usa para resolver esse tipo de exercício caso você tenha a figura e as dimensões — assim você sabe exatamente o que procurar na folha da prova e como aplicar.
  1. Interpretar a carga \;P\; e o ângulo \;\theta\;.
  • Muitas vezes \theta indica a inclinação da força em relação à vertical ou à horizontal. Para esmagamento (tensão normal de contato) interessa a componente da força que atua perpendicularmente ao plano de contato dos apoios.
  • Se a componente normal for a componente vertical, então calculamos a componente vertical de P por
P_V = P\cos\theta
ou por
P_V = P\sin\theta
dependendo de como \theta é definido na figura. É ESSENCIAL verificar a figura para saber qual fórmula usar. Aqui P está em \mathrm{kN}.
  1. Equilíbrios estáticos para obter as reações em cada apoio.
  • Se o suporte em B tem dois apoios (ex.: dois pinos ou duas sapatas) localizados em x_1 e x_2 e a componente normal da carga atua em x_P, as reações normais R_1 e R_2 são obtidas por:
R_1+R_2 = P_V
R_1 x_1 + R_2 x_2 = P_V x_P
  • Resolvendo para dois apoios separados por distância L = x_2-x_1 dá-se a forma prática
R_1 = P_V\frac{x_2 - x_P}{L},\qquad R_2 = P_V\frac{x_P - x_1}{L}.
  • Caso a carga esteja central entre apoios (simetria), então R_1=R_2=\dfrac{P_V}{2}.
Explanação do porquê: essas expressões vêm de somar forças (todas as reações devem equilibrar a componente normal total) e de somar momentos (a posição da carga cria momentos que “distribuem” a carga entre os apoios). É igualzinho ao que se faz em viga com cargas pontuais repartidas entre apoios.

Passo 3

Como se calcula a tensão de esmagamento média (definição e conceito):
  • A tensão de esmagamento média em um apoio é a força normal no apoio dividida pela área de contato projetada desse apoio. Em fórmula:
\sigma_{\text{esmag}} = \frac{R}{A}
onde:
  • \sigma_{\text{esmag}} é a tensão média de esmagamento (em \mathrm{kN/m^2} ou \mathrm{MPa} dependendo das unidades);
  • R é a reação normal no apoio (em \mathrm{kN});
  • A é a área de contato projetada do apoio (em \mathrm{m^2}).
Observações práticas:
  • Se a área for dada em \mathrm{mm^2}, converta \mathrm{kN} para \mathrm{N} (1 \mathrm{kN}=1000\\ \mathrm{N}) e então obtenha \mathrm{N/mm^2} que é \mathrm{MPa}.
  • A área de contato é a projeção da superfície de contato perpendicular à força normal (por ex., largura \times comprimento da sapata).

Passo 4

Exemplos numéricos simbólicos (úteis na prova, você só precisa substituir com os dados da figura):
Caso simples A — carga vertical (componente normal é P) e dois apoios simétricos com área de contato igual A:
  • Reação em cada apoio:
R_1=R_2=\frac{P}{2}.
  • Tensão de esmagamento média em cada apoio:
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{R_1}{A}=\frac{P}{2A}.
Caso simples B — carga inclinada com \theta e a componente normal é P_V = P\cos\theta, dois apoios simétricos:
  • Reação em cada apoio:
R_1=R_2=\frac{P_V}{2}=\frac{P\cos\theta}{2}.
  • Tensão média:
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{P\cos\theta}{2A}.
Caso geral com dois apoios a distâncias conhecidas:
  • Primeiro calcule P_V (componente que provoca esmagamento), depois calcule R_1 e R_2 pelas fórmulas de equilíbrio do Passo 2, e por fim
\sigma_{\text{esmag},i}=\frac{R_i}{A_i}\quad\text{para cada apoio }i.

Passo 5

Aplicando os conceitos ao enunciado fornecido (o que podemos avaliar com os dados que temos):
  • Você deu \theta = 40^\circ e P = 9\\ \mathrm{kN}. Sem a figura não sabemos se a componente normal que causa esmagamento é P\cos\theta ou P\sin\theta. Portanto não dá para dizer se a componente normal vale, por exemplo,
P_V = 9\cos40^\circ\\ \mathrm{kN}\quad\text{ou}\quad P_V = 9\sin40^\circ\\ \mathrm{kN}.
  • Mesmo que escolhêssemos arbitrariamente uma componente, ainda faltaria a posição da carga (para distribuir entre os apoios) e as áreas A_i de cada apoio.

Passo 6

Resumo do que você precisa colher na folha de prova (ou na figura) para poder obter a resposta numérica diretamente:
  1. confirmar qual componente de P gera esmagamento (ver se \theta é medido a partir da vertical ou da horizontal);
  2. posições relativas: número de apoios em B e coordenadas x_i dos apoios e da aplicação da força;
  3. áreas de contato A_i de cada apoio (ou dimensões que permitam calcular A_i);
  4. então aplicar:
\text{(i) } P_V=\text{componente normal de }P,\qquad \text{(ii) calcule }R_i\text{ por equilíbrio},\qquad \text{(iii) }\sigma_{\text{esmag},i}=\frac{R_i}{A_i}.í

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão de esmagamento média com os dados fornecidos: falta a figura e as dimensões essenciais (posição da carga relativamente aos apoios e áreas de contato).

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